Đề tuyển sinh THPT môn Toán (chuyên) năm 2022 2023 sở GD ĐT An Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2022-2023 Khóa ngày 07/6/2022 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho 𝐴= ൫4 + 𝑥+ 2√3 + 𝑥൯

ଶ−10൫1 + √3 + 𝑥൯

ଶ

a. Tính giá trị biểu thức 𝐴 khi 𝑥= 2√2. b. Tìm 𝑥 biết 𝐴= −9.

Câu 2. (2,0 điểm)

Cho Parabol (𝑃): 𝑦= −2𝑥ଶ và hai điểm 𝐴(−1; 0), 𝐵(1; −2). a. Vẽ đồ thị (𝑃) và hai điểm 𝐴; 𝐵 trên cùng hệ trục tọa độ. b. Viết phương trình đường thẳng (𝑑) song song với 𝐴𝐵 và tiếp xúc (𝑃).

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn 𝑥, 𝑛 là tham số: 𝑛𝑥ଶ−2(𝑛+ 1)𝑥+ 𝑛= 0. a. Tìm 𝑛 để phương trình có hai nghiệm phân biệt 𝑥ଵ; 𝑥ଶ. b. Chứng minh rằng |𝑥ଵ−𝑥ଶ| ≤2√3 với mọi số 𝑛 nguyên dương.

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶(𝐴𝐶> 𝐵𝐶), 𝐵𝐶= 2. Biết rằng đường tròn (𝑂) qua ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝑀 (𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶) cắt 𝐴𝐶 tại 𝐿 với 𝐵𝐿 là tia phân giác của góc 𝐴𝐵𝐶.

a. Chứng minh 𝐶𝐴. 𝐶𝐿= 2. b. Chứng minh 𝐴𝐵. 𝐿𝐶= 𝐵𝐶. 𝐿𝑀. c. Tính độ dài cạnh 𝐴𝐵. Câu 5. (1,0 điểm) Một nông dân thu hoạch 100 trái dưa lưới có khối lượng trung bình là 1,5 kg. Trong 100 trái này có các trái dưa lưới nặng hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,73 kg, các trái dưa lưới nhẹ hơn 1,5 kg có khối lượng trung bình là 1,33 kg và các trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg.

a. Tìm biểu thức liên hệ giữa số trái dưa lưới theo khối lượng của chúng. b. Có ít nhất bao nhiêu trái dưa lưới nặng đúng 1,5 kg ?

-------Hết-------

Số báo danh: ............................ Phòng thi: ........

Lược giải đề TS10 An Giang 2022 Môn: TOÁN CHUYÊN

Đặng Lê Gia Khánh 1

LƯỢC GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH 10 AN GIANG

Môn: TOÁN CHUYÊN

Năm học: 2022 – 2023

Đặng Lê Gia Khánh

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho 𝐴= ൫4 + 𝑥+ 2√3 + 𝑥൯

ଶ−10൫1 + √3 + 𝑥൯

ଶ.

a. Tính giá trị biểu thức 𝐴 khi 𝑥= 2√2. b. Tìm 𝑥 biết 𝐴= −9.

LỜI GIẢI

Với điều kiện 3 + 𝑥≥0 ⇔𝑥≥−3

𝐴= ቂ൫1 + √3 + 𝑥൯

ଶቃ

ଶ

−10൫1 + √3 + 𝑥൯

ଶ= ൫1 + √3 + 𝑥൯

ସ−10൫1 + √3 + 𝑥൯

ଶ.

1a. Với 𝑥= 2√2 thì 3 + 𝑥= 3 + 2√2 = ൫1 + √2൯

ଶ⇒√3 + 𝑥= 1 + √2.

Suy ra 𝐴= ൫2 + √2൯

ସ−10൫2 + √2൯

ଶ= ൫2 + √2൯

ଶቂ൫2 + √2൯

ଶ−10ቃ.

Do ൫2 + √2൯

ଶ= 6 + 4√2 ⇒𝐴= ൫6 + 4√2൯൫−4 + 4√2൯= 8 + 8√2.

1b. Đặt 𝑡= 1 + √3 + 𝑥 (𝑡≥1). Biểu thức 𝐴 trở thành 𝐴= 𝑡ସ−10𝑡ଶ

𝐴= −9 ⇔𝑡ସ−10𝑡ଶ+ 9 = 0 ⇔(𝑡ଶ−1)(𝑡ଶ−9) = 0 ⇔ቂ𝑡= ±1

𝑡= ±3

Do 𝑡≥1 nên 𝑡= 1 hoặc 𝑡= 3.

Với 𝑡= 1 ⇒1 + √3 + 𝑥= 1 ⇔√3 + 𝑥= 0 ⇔𝑥= −3 (nhận). Với 𝑡= 3 ⇒1 + √3 + 𝑥= 3 ⇔√3 + 𝑥= 2 ⇔3 + 𝑥= 4 ⇔𝑥= 1 (nhận). Vậy 𝐴= −9 tìm được các giá trị 𝑥 là −3; 1. Câu 2. (2,0 điểm)

LỜI GIẢI

2a. Bảng giá trị (𝑃):

𝑥 −2 −1 0 1 2

𝑦= −2𝑥ଶ −8 −2 0 −2 −8

Cho Parabol (𝑃): 𝑦= −2𝑥ଶ và hai điểm 𝐴(−1; 0), 𝐵(1; −2). a. Vẽ đồ thị (𝑃) và hai điểm 𝐴; 𝐵 trên cùng hệ trục tọa độ. b. Viết phương trình đường thẳng (𝑑) song song với 𝐴𝐵 và tiếp xúc (𝑃).

Lược giải đề TS10 An Giang 2022 Môn: TOÁN CHUYÊN

Đặng Lê Gia Khánh 2

2b. Gọi (𝑑ᇱ): 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 là phương trình đường thẳng qua hai điểm 𝐴(−1; 0), 𝐵(1; −2).

Khi đó ቄ0 = −𝑎+ 𝑏

−2 = 𝑎+ 𝑏⇔ቄ𝑎= −1

𝑏= −1 ⇒(𝑑ᇱ): 𝑦= −𝑥−1.

Phương trình đường thẳng (𝑑)//(𝑑ᇱ) có dạng 𝑦= −𝑥+ 𝑐 (𝑐 là hằng số) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (𝑃), (𝑑): −2𝑥ଶ= −𝑥+ 𝑐 (∗). (𝑃), (𝑑) tiếp xúc nhau ⇔ phương trình (∗) có nghiệm kép

⇔ ∆= 1 −4(−2)(−𝑐) = 0 ⇔𝑐= 1

8 .

Vậy (𝑑): 𝑦= −𝑥+ 1

8 là phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn 𝑥, 𝑛 là tham số: 𝑛𝑥ଶ−2(𝑛+ 1)𝑥+ 𝑛= 0. a. Tìm 𝑛 để phương trình có hai nghiệm phân biệt 𝑥ଵ; 𝑥ଶ. b. Chứng minh rằng |𝑥ଵ−𝑥ଶ| ≤2√3 với mọi số 𝑛 nguyên dương.

LỜI GIẢI

Phương trình 𝑛𝑥ଶ−2(𝑛+ 1)𝑥+ 𝑛= 0 (1) là phương trình bậc hai ẩn 𝑥 nên 𝑛≠0. 3a. Biệt thức Δᇱ= (𝑛+ 1)ଶ−𝑛ଶ= 2𝑛+ 1. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥ଵ; 𝑥ଶ ⇔Δᇱ> 0 ⇔2𝑛+ 1 > 0 ⇔𝑛> −

ଵ

ଶ.

Vậy với 𝑛> −

ଵ

ଶ và 𝑛≠0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥ଵ; 𝑥ଶ .

3b. Do 𝑛 nguyên dương ⇒𝑛∈ℕ∗, tức là 𝑛≥1. Từ câu 3a thấy với 𝑛≥1, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 𝑥ଵ; 𝑥ଶ . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 𝑥ଵ+ 𝑥ଶ= 2 +

ଶ

௡ và 𝑥ଵ𝑥ଶ= 1.

(𝑃): 𝑦= −2𝑥ଶ

y

O x