Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2022 2023 sở GDKHCN Bạc Liêu

SỞ GIÁO DỤC, KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ BẠC LIÊU

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN

Năm học: 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: (4 điểm) a) Chứng minh biểu thức ( )( ) 3 2 3 ( 2) 1 5 1 2 1 S n n n n n n = + + + − + − − chia hết cho 120 , với n là số

nguyên. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( )( ) ( ) ( ) 2 3 2 5 22. x y x y x y x y + − + + − − =

Câu 2: (4 điểm)

a) Rút gọn biểu thức

2 3 5 ( 1) ( 0, 1) 1 1 4 a a a a P a a a a a a a a

   + − = + > ≠      − − − +   

b) Giải hệ phương trình ( ) 2 2

2 2 40 0

6 40 0

x x y y

x y

 + − =  + − = 

Câu 3: (4 điểm) a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 5 2 0 x x m − + − = có hai nghiệm dương phân

biệt 1 2 , x x thoả mãn hệ thức:

1 2

1 1 3 2 x x + = .

b) Cho , , a b c là các số dương thỏa mãn 3 a b c + + = . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 . 1 2 a b c a b b c c a a b c + + ≥+

Câu 4: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính 2 MN R = . Vẽ đường kính AB của đường tròn ( )( O A khác M và A khác ) N . Tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại N cắt các đường thẳng , MA MB lần

lượt tại các điểm ,I K . a) Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp. b) Khi đường kính AB quay quanh tâm O thoả mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính AB để tứ giác ABKI có diện tích nhỏ nhất. Câu 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn ( ) O đường kính AB , điểm C thuộc nửa đường tròn (C khác A

và ) B . Gọi I là điểm chính giữa cung , AC E là giao điểm của AI và BC . Gọi K là giao điểm của AC và BI . a) Chứng minh rằng EK AB ⊥ . b) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I . Chứng minh AF là tiếp tuyến của ( ) O .

c) Nếu  6 sin 3 BAC = . Gọi H là giao điểm của EK và AB . Chứng minh ( ) 2 2 KH KH HE HE KE + = ⋅ .

---Hết---

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: a) Ta có

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )

4 3 2

2 2 2

2 2

5 5 5 6

1 6 5 1

1 5 6

1 1 2 3

1 1 2 3

S n n n n n

n n n n n

n n n n

n n n n n

n n n n n

= + + − −

  = − + + −  

= − + +

= − + + +

= − + + +

.

Ta thấy S là tích của 5 số nguyên liên tiếp và 120 3.8.5 = +) Trong 5 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 nên tích cũng chia hết cho 3 . +) Trong 5 số nguyên liên tiếp sẽ có 2 số chã̃n liên tiếp có dạng 2 2 k + với k ∈. Do đó tích của chúng có dạng ( ) 4 1 k k +

mà ( ) ( ) 1 2 4 1 :8 k k k k + ⇒ + 

+) Trong 5 số nguyên liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 5 nên tích của chúng cũng chia hết cho 5 . Vậy S chia hết cho 120 . b) ( )( ) ( ) ( ) 2 3 2 5 22 x y x y x y x y + − + + − − = .

( )( ) ( ) 2 3 5 3 7 x y x y x y ⇔ + − + − − + = ( )( ) 2 5 3 7 x y x y ⇔ + − − + = Vì

( ) ( ) ( ) ( ) 7 1.7 7.1 1 7 7 1 = = = − ⋅− = − ⋅− nên ta có 4 trường hợp xảy ra

1:

10 2 5 1 3 3 7 2 3

x x y x y y

 =   + − =   ⇔   − + =   = −    

(loại)

TH2:

10 2 5 7 3 3 1 16 3

x x y

x y y

 =   + − =   ⇔   − + =   =    

. (loại)

TH3: 2 5 1 2

3 7 8

x y x

x y y

 + − = − = −  ⇔   − + = − =  

TH4: 2 5 7 2

3 1 2

x y x

x y y

 + − = − = −  ⇔   − + = − =  

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là ( ) 2;8 − và ( ) 2;2 −

Câu 2:

a) ( )

( )( ) ( )( )

2 1 3 5 ( 1) 4 1 1 1 1

a a a a a P a a a a a

  −   + −   = + ⋅    − − − −    