Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên Toán) năm 2022 2023 sở GD ĐT Hà Nội

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên SởGD Hà Nội 2022 CLB Toán Lim

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên SởGD Hà Nội 2022

Nguyễn Duy Khương - Nguyễn Hoàng Việt - Trịnh Đình Triển - Nguyễn Văn Hoàng

1 Câu I

1) Giải phương trình: x2 −4x+2 p

2x−1+1 = 0

2) Cho các sốthực a,b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tính giá trịbiểu thức:

P = a 1+ a2 + b 1+ b2 + c 1+ c2 − 2 a+ b + c −abc

Lời giải

1) ĐKXĐ: x ≥1

2 Phương trình đềcho tương đương:

x2 −2x+1 = (2x−1)−2 p

2x−1+1

⇔(x−1)2 = ( p

2x−1−1)2

TH1: x−1 = p

2x−1−1 ⇔x = p

2x−1

⇔

  

 

x2 = 2x−1

x ≥0 ⇔

  

 

(x−1)2 = 0

x ≥0 ⇔x = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

TH2: x−1 = 1− p

2x−1 ⇔2−x = p

2x−1

⇔

  

 

(2−x)2 = 2x−1

2−x ≥0 ⇔

  

 

x2 −6x+5 = 0

x ≤2 ⇔x = 1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

2) Từgiảthiết, ta biến đổi: a 1+ a2 = a ab + bc + ca+ a2 = ab + ac (a+ b)(b + c)(c + a)

Tương tựta có: b 1+ b2 = bc + ba (a+ b)(b + c)(c + a); c 1+ c2 = ca+ cb (a+ b)(b + c)(c + a)

⇒P = 2(ab + bc + ca) (a+ b)(b + c)(c + a) − 2 a+ b + c −abc Mà ab + bc + ca = 1

(a+ b)(b + c)(c + a) = (a+ b + c)(ab + bc + ca)−abc = a+ b + c −abc

⇒P = 0

Vậy P = 0

1 20/06/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên SởGD Hà Nội 2022 CLB Toán Lim

2 Câu II

1) Chứng minh rằng với n là sốtựnhiên lẻthì: 32n+1 −1 chia hết cho 20.

2) Tìm các cặp sốnguyên dương sao cho: y(x2 + x+1) = (x+1)(y2 −1).

Lời giải

1) vì n là sốtựnhiên lẻ, đặt n = 2k +1(k ∈N)

⇒S = 32n+1 −7 = 34k+3 −7 = 81k.27−7

Nhận thấy, 81 ≡1(mod20) ⇒S ≡1k.27−7 = 27−7 ≡0(mod20)

Hay S chia hết cho 20 (điều phải chứng minh).

2) Phương trình tương đương với:

yx2 + yx+ y = xy2 + y2 −x−1 ⇔xy(x−y)+ y(x−y) = −(x+ y+1)

⇔y(x+1)(x+1−y−1) = −(x+1+ y).

Đặt a = x+1,a ≥2. phương trình tương đương với

ay(y+1−a) = a+ y.

Vì ay > 0 và a + y > 0 nên y + 1 −a > 0. Suy ra y + 1 −a ≥1. Ta lại có

(a−1)(y−1) ≥1 hay ay ≥a+y−1 > a+ y

2 (do a+y ≥3). Do đó, nếu y+1−a ≥2

thì

ay(y+1−a) > a+ y, vô lý.

Do đó, y+1−a = 1 hay y = a. Khi đó, từphương trình trên, ta cũng tìm

ra được là a2 = 2a hay a = 2. Như vậy, (x, y) = (1,2).

Cách 2: Ta biến đổi phương trình được:

x2y = (x+1)(y2 −y−1)(1)

Do x, y > 0y2 −y−1 > 0

Gọi d = (x2,x+1) ∈N∗⇒d|x+1,x2 ⇒d|x2 −1 ⇒d|1 ⇒d = 1

Gọi e = (y, y2 −y−1) ∈N∗⇒1|e ⇒e = 1

Từ(1) ⇒x2y...x+1 , mà (x+1,x2) = 1 ⇒y...x+1(2)

Lại từ(1) ⇒(y2 −y−1)(x+1)...y , mà (y, y2 −y−1) = 1 ⇒x+1...y(3)

Do x, y > 0, kết hợp (2),(3) ⇒x+1 = y

2 20/06/2022

Giải chi tiết đềthi Toán Chuyên SởGD Hà Nội 2022 CLB Toán Lim

Thay vào (1), ta có: x2 = y2 −y−1 = (x+1)2 −(x+1)−1

⇒x = 1 ⇒y = 2

Vậy (x; y) = (1;2)

3 Câu III

1. Tìm hai sốnguyên dương m,n sao cho m3

m+ n và n3

m+ n đều là các số

nguyên tố.

2. Với a,b, c là các sốthực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3, tìm

giá trịlớn nhất của biểu thức

P = ab +2bc +3ca−3abc.

Lời giải

1. Đặt m3

m+ n = p, n3

m+ n = q. Khi đó, ta có

p + q = m3 + n3

m+ n = m2 −mn+ n2.

Vì m3 = p(m + n) nên p | m3 hay p | m. Do đó, ta suy ra p3 | p(m + n) hay

p2 | m+ n hay p | n. Do đó, ta suy ra

p | m2 −mn+ n2 =⇒p | p + q =⇒p | q =⇒p = q.

Vì p = q nên ta suy ra m = n. Khi đó, ta có p = q = m2

2 . Khi đó, ta dễdàng

chỉra p, q chỉlà sốnguyên tốkhi m = 2. Vậy m = n = 2.

2. Ta có

P = ab +2bc +3ca−3abc ≤2b(a+ c)+3ca(1−b).

• Nếu b ≥1 thì

P ≤2b(a+ c) ≤(a+ b + c)2

2 = 9

2.

• Nếu 0 ≤b ≤1 thì ta có

P ≤2b(a+ c)+ 3(a+ c)2(1−b)

4 = 2b(3−b)+ 3(3−b)2(1−b)

4

= −1

4 b(21−13b +3b2)+ 27

4 ≤27

4 .

Do đó, ta suy ra P ≤27

4 . Dấu bằng xảy ra khi (a,b, c) = µ3

2,0, 3

2

¶ .

3 20/06/2022