Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2022 2023 sở GD ĐT Quảng Ngãi

LỜI GIẢI ĐỀTHI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NGÃI

ĐỀTHI

Bài 1: (1,5 điểm)

1. Rút gọn biểu thức P = x −√x + 2

x −√x −2 − x x −2√x

: √x −1 √x −2 với x > 0, x ̸= 1, x ̸= 4.

2. Tìm m đểba đường thẳng (d1) : y = 2x + 1, (d2) : y = −x + 7 và (d3) : y = mx + m −4 đồng quy.

Bài 2: (1,5 điểm)

1. Chứng minh rằng n4 + 2n3 −n2 −2n chia hết cho 24 với mọi sốnguyên n.

2. Tìm tất cảcác sốnguyên dương n sao cho 25n2 + 10n + 48 là tích của hai sốnguyên dương chẵn liên tiếp.

Bài 3: (2,5 điểm)

1. Giải hệphương trình

( x2 −2x −xy + 2y = 0 x + y = xy −5 .

2. Cho phương trình x2 −2(m −1)x + m2 −3 = 0 ( m là tham số). Tìm m đểphương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn (x2 1 −2mx1 + m2) (x2 2 −2mx2 + m2) = 1.

3. Cho bốn sốthực a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 10 và a2 + b2 + c2 + d2 = 28. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức T = ab + ac + ad.

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và hai điểm B, C cốđịnh trên (O), BC = R. Điểm A thay đổi trên cung lớn BC của (O) sao cho AB < AC. Đường thẳng qua B và vuông góc với AC tại K cắt đường tròn (O) tại P(P khác B). KẻPQ vuông góc với đường thẳng BC tại Q. Tia phân giác trong của góc [ BAC cắt cạnh BC tại D. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M.

a) Chứng minh \ ABK = \ KQP và MB

MC = DB

DC

2 .

b) Khi A đối xứng với C qua O, tính diện tích tứgiác AMDO theo R.

c) Tia AD cắt đường tròn (O) tại E (khác A ). Lấy điểm I trên đoạn thẳng AE sao cho EI = EB. Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại L (khác B ). Qua B kẻđường thẳng vuông góc với LE cắt đường thẳmg LC tại F. Xác định vịtrí điểm A đểđộdài BF lớn nhất.

Bài 5: (1,0 điểm) Một sốnguyên dương được gọi là "sốđặc biệt" nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) Các chữsốcủa nó đều khác 0 .

2

MATHCS −TOÁN THCS PHAN HUY HÀO −PHẠM NGỌC TUẤN

ii) Sốđó chia hết cho 12 và nếu đổi chỗcác chữsốcủa nó một cách tùy ý, ta vẫn thu được một sốchia hết cho 12 . a) Chứng minh rằng một "sốđặc biệt" chỉcó thểchứa các chữsố4 và 8 . b) Có tất cảbao nhiêu "sốđặc biệt" có 5 chữsố?

3

LỜI GIẢI ĐỀTHI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NGÃI

LỜI GIẢI

d Bài 1 1. Rút gọn biểu thức P = x −√x + 2

x −√x −2 − x x −2√x

: √x −1 √x −2.

2. Tìm m đểba đường thẳng (d1) : y = 2x + 1, (d2) : y = −x + 7 và (d3) : y = mx + m −4 đồng quy.

1,5 điểm

✍Lời giải. 1. Điều kiện xác định: x > 0; x ̸= 1; x ̸= 4.

Ta có P = (x −√x + 2)(x −2√x) −(x −√x −2)x

(x −√x −2)(x −2√x) · √x −2 √x −1

= −2√x(√x −2)(√x −1) √x(√x −1)(√x −2)2 · √x −2 √x −1 = 2 1 −√x 2.Xét phương trình hoành độgiao điểm của (d1) và (d2) ta có:

2x + 1 = −x + 7 ⇔3x = 6

⇔x = 2

⇒y = 5

Để(d1), (d2) và (d3) đồng quy thì (d3) : y = mx + m −4 phải đi qua điểm (2; 5), khi đó:

5 = 2m + m −4 ⇔m = 3

Vậy m = 3 thì (d1), (d2) và (d3) đồng quy. ■

4

MATHCS −TOÁN THCS PHAN HUY HÀO −PHẠM NGỌC TUẤN

d Bài 2 1. Chứng minh rằng n4 + 2n3 −n2 −2n chia hết cho 24 với mọi sốnguyên n.

2. Tìm tất cảcác sốnguyên dương n sao cho 25n2 + 10n + 48 là tích của hai số nguyên dương chẵn liên tiếp.

1,5 điểm

✍Lời giải.

1. Ta có: n4 + 2n3 −n2 −2n = (n3 −n)(n + 2) = (n −1)n(n + 1)(n + 2).

Ta thấy (n −1)n(n + 1)(n + 2) là tích bốn sốnguyên liên tiếp nên sẽchứa một sốchia hết cho 2 và một sốchia hết cho 4, từđó suy ra tích bốn sốnguyên liên tiếp chia hết cho 8.

Đồng thời, trong bốn sốnguyên liên tiếp luôn chứa tích của ba sốnguyên liên tiếp, đồng nghĩa với việc tích bốn sốnguyên liên tiếp chia hết cho 3.

Mà (3, 8) = 1, hay 3 và 8 là hai sốnguyên tốcùng nhau.

Vì vậy, tích bốn sốnguyên liên tiếp sẽchia hết cho 3.8 hay 24 (đpcm). Vậy n4 + 2n3 −n2 −2n chia hết cho 24 với mọi sốnguyên n.

2. Gọi hai sốchẵn liên tiếp lần lượt là 2k và 2k + 2 với k ∈Z+. Theo đềbài, ta có phương trình sau

25n2 + 10n + 48 = 2k(2k + 2)

⇔5n(5n + 2) + 48 = 4k(k + 1) (1)

Vì k(k + 1) là tích hai sốnguyên liên tiếp nên 2 | k(k + 1) hay 8 | 4k(k + 1). Suy ra 8 | 5n(5n + 2) + 48 mà 8 | 48 nên ta có 8 | 5n(5n + 2), mà 5n và 5n + 2 cách nhau hai đơn vịnên cùng chẵn hoặc cùng lẻ, nên đểchia hết cho 8 thì chỉcó thểlà cùng chẵn. Do đó 5n chẵn hay n chẵn. Đặt n = …