Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2022 2023 sở GD ĐT Bình Định

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VẢO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NÃM HỌC 2022-2023 Để chính thức Môn thỉ chuyên: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Ngày thi: 11/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thởi gian phát đề) Bài 1: (2,5 điểm) 1. Cho biểu thức: 2022 2020 2 5 2017 P x x x x x       .

Tính giá trị của P khi 3 3 2 5 2 5 x     . 2. Cho phương trình 3 2 1 0 x bx cx    trong đó ,b c là các số nguyên. Biết phương trình có nghiệm 0 2 5 x   . Tìm ,b c và các nghiệm còn lại của phương trình. Bài 2: (2,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

2

2 2 ( ) 4 1 0

( ) 2 7 2 0

x x y y y

y x y x y

           

2. Cho , , a b c là các số nguyên. Đặt 5 5 3 ( 2021) (2 2022) (3 2023) 2 3 2022 ; S a b c P a b c           Chứng minh rằng S chia hết cho 30 khi và chi khi P chia hết cho 30 . Bài 3: ( 1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu đa thức ( ) P x có bậc không lởn hơn 2 với các hệ số nguyên không âm và thỏa mãn điều kiện (3) 100 P  . Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC)  nội tiếp đường tròn (O) , các đường cao AD,BE,CFcắt nhau tại H . Gọi M là trung diểm BC . a) Chứng minh tứ giác DMEF là tứ giác nội tiếp. b) Đường tròn tâm I đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thử hai là P . Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) . Chứng minh bốn điểm P,H,M,K thẳng hàng. c) Các tiếp tuyến tại A và P của đường tròn (I) cằt nhau ở N . Chứng minh ba đường thẳng MN,EF,AH đồng quy. Bài 5: (1,0 điểm)

Cho 2 số ,x y thỏa mãn: 2 2

2

3

x y

x y xy 

 

 

  

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biều thức: 2 2 T x y xy    ---------HẾT---------

Đáp án Bài 1: (2,5 điểm)

1. Cho biểu thức 2022 2020 2 5 2017 P x x x x x     . Tính giá trị của P khi

3 3 2 5 2 5 x    

2. Cho phương trình 3 2 1 0 x bx cx    trong đó ,b c là các số nguyên. Biết phương trình có nghiệm 0 2 5 x   . Tìm ,b c và các nghiệm còn lại của phương trình.

Lời giải.

1. Ta có 3 3 2 5 2 5 x    

 

3 3 3 3 3

3

2

(2 5) (2 5) 3 2 5 2 5 ( 2 5 2 5)

2 5 3

( 5) 5 2 0.

x

x x

x x x

           

  

    

Chú ý rằng

2

2 5 3 5 2 0 2 4 x x x              

nên từ đây chỉ có thể 5 x  .

Thế nên   2020 2 2 5 2017 2022 P x x x x      .

2. Bằng tính toán trực tiếp, ta tính được 3 2 0 0 38 17 5; 9 4 5 x x     . Vì 0x là nghiệm của phương trình 3 2 1 0 x bx cx    nên

3 2 0 0 0 1 0

(38 17 5) (9 4 5) (2 5) 1 0

(39 9 2 ) (17 4 ) 5 0.

x bx cx

b c

b c b c

  

      

      

Ta thấy rằng nếu 17 4 0 b c    thì 39 9 2 5 17 4

b c b c        do ,b c là số nguyên, điều vô

lí. Do đó 17 4 0 b c   , kéo theo 39 9 2 0 b c    .

Giải hệ phương trình 4 17 0 5 9 2 39 0 3 b c b b c c

             

.

Với ( ; ) ( 5;3) b c  thì phương trình trở thành 3 2 5 3 1 0 x x x      2 4 1 ( 1) 0

2 5

2 5

1

x x x

x

x

x

    

        

Vậy với ( ; ) ( 5;3) b c  , ngoài nghiệm 0 2 5 x   thì PT còn nghiệm 1 2 5 x   và

2 1 x .

Bài 2: ( 2,5 điểm)