Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2022 2023 sở GD ĐT Hưng Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HƯNG YÊN NĂM HỌC 2022 – 2023 Bài thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho thí sinh dự thi vào các lớp chuyên: Toán, Tin học Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I (2,0 điểm). Cho biểu thức 2 2 1 : 2 1 x x A

x x x x x

              

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A = 3 Câu II (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol 2 ( ): P y x  và đường thẳng

( ): ( 1) 5 d y m x m    . Tìm giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 1 1 ( ; ) A x y ,

2 2 ( ; ) B x y sao cho 1 2 ; x x là các số nguyên. 2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 4 3 2 2 2 16 12 16 4 0 x x x y x y        Câu III (2,0 điểm).

1. Giải phương trình 3 2 3 1. 1 1 x x x x      

2. Giải hệ phương trình 

3 3 2 4 1 2 1 x y xy x y xy x y       

Câu IV (3,0 điểm). 1. Cho ABC  nhọn ( ) AB AC  nội tiếp đường tròn ( ) O . Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC. a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp, từ đó suy ra KF.KE = KB.KC. b) Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M (M khác A). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh ba điểm M, H, I thẳng hàng. 2. Một chi tiết máy gồm hai nửa hình cầu bằng nhau và một hình trụ (hình vẽ). Hãy tính thể tích của chi tiết máy đó theo các kích thước cho trên hình vẽ. Câu V (3,0 điểm). Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 4 2 3 24 xy yz xz    . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

2 2 2 2

4 9 16

x y z P

x y z      

.

HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ....................................... Phòng thi số: ....................................... Số báo danh: ................................................. Chữ ký của cán bộ coi thi .....................

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu I.

a) 2 2 1 : 2 1 x x A

x x x x x

              

ĐK: 0, 1 x x  

= ( 2) 2 1 : ( 1)( 2) ( ) 1 x x x x x x x

             

= 2 1 . 1 ( 1) x x x x

          

= 2 x

x 

b) 2 3 3 x A

x    

2 3 x x    3 2 0 x x    

1 1( )

4( ) 2

x x l

x n x

          

Vậy A=3 khi x = 4 Câu II. 1) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) 2 ( 1) 5 x m x m     2 ( 1) 5 0 x m x m      (*) Ta có 2 ( 1) 4( 5) m m     2 2 21 m m    2 ( 1) 20 0 m     Nên (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

Theo hệ thức vi-et

1 2

1 2

1

. 5

x x m

x x m

       

(*) 2 5 ( 1) x x m x      Xét 1 x  không phải là nghiệm của phương trình

5

1 x m x     (1)

Vì 1 2 ; x x Z  nên 1 m  và 5 m  là các số nguyên do đó m cũng là số nguyên Từ (1) ta có

m Z  khi 5

1 x Z x         

 

1

5 1

x Z

x

    

Suy ra 3; 5 m m  

1 5 4 3

1 1 0 5

1 5 6 5 1 1 2 3

x x m

x x m

x x m x x m

                  

Vậy 3; 5 m m   thỏa yêu cầu bài toán 2) 4 3 2 2 2 16 12 16 4 0 x x x y x y        4 3 3 2 2 2 3 3 4 4 8 8 16 16 4 x x x x x x x y y            3 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1) 8( 1) 16 16 4 x x x x x x x y y            3 2 2 ( 1)( 3 4 8) (4 2) x x x x y        2 2 2 ( 1) ( 4 8) (4 2) x x x y       Vì 4 2 0 1 y z y x      Vì ,x y z  nên 2 ( 1) x  và 2 (4 2) y  là số chính phương khác 0 nên 2 ( 4 8) x x   cũng là số chính phương

Đặt 2 4 8 x x m   * ( ) m N  2 2 ( 2) 4 x m     2 2 ( 2) 4 x m     (*) ( 2 )( 2 ) 4 x m x m       Do 2 2 x m x m     

Nên













2 4 1/2 2 1 5/2

2 2 2 2 2 2

2 1 7/2 2 4 5/2

x m x x m m

x m x x m m

x m x x m m

     

     

     

             

 2 2 (4 2) 4 x y   

4 2 2 4 0 0 4 2 2 4 4 1 y y y y y y               

Vậy nghiệm nguyên thỏa ycbt là: (-2; 0); (-2; -1) Câu III.

1) 3 2 3 1 1 1 x x x x      

ĐK: 1 3 x   3 2 3 1 x x x    …