Đề tuyển sinh chuyên môn Toán (chuyên) 2022 2023 sở GD ĐT Quảng Nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG

THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm có 01 trang)

Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 14-16/6/2022

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức

3 A 507 13 48 25 = + − − .

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn 3 2 3 2 x x y y + = + . Câu 2. (1,0 điểm) Cho parabol 2 (P): 2 y x = và đường thẳng (d): y ax b = + . Tìm các hệ số ,a b biết

rằng (d) đi qua điểm 3 A 1; 2      

và có đúng một điểm chung với (P).

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 3 3 2 3 9 6 0 x x x x x − − + − − + = .

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 4 4 2 4 3

4 2 4 4 3

x y x y xy

x y x y xy

 + + + − =  + + − + = 

.

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của  ABC cắt AP tại I.

a) Chứng minh PI = PB. b) Chứng minh   IMB = INA. Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho   BDC = 2BAC (AD không vuông góc với BC). a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của  BDC và tổng BD + CD bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD. Câu 6. (1,0 điểm) Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn 1. xyz = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2 2 2 1 1 1 P 4 4 4 x y y z z x = + + + + + + + + .

--------------- HẾT ---------------

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. * Họ và tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh: ……........

Trang 1/7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG

THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm 07 trang)

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

(2,0)

a) Không dùng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức

3 A 507 13 48 25 = + − − 1,0

3 A 13 3 13 4 3 25 = + − − 0,25

2 3 A 13 3 (1 2 3) 25 = + − − 0,25

3 A 15 3 26 = − 0,25

3 3 A ( 3 2) 3 2 = − = − 0,25

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn 3 2 3 2 x x y y + = + 1,0

Ta có: 3 2 3 2 2 2 ( )( ) 0 x x y y x y x y xy x y + = + ⇔ − + + + + = 0,25

2 2 0

0

x y

x y xy x y

− =  ⇔ + + + + = 

- Khi 0 x y x y − = ⇔ = . Khi đó ( ; ) ( ; ) x y m m = (m là số nguyên tùy ý)

0.25

- Khi 2 2 2 2 2 0 ( ) ( 1) ( 1) 2 x y xy x y x y x y + + + + = ⇔ + + + + + = . 0.25

Suy ra trong ba giá trị 2 2 2 ( ) ,( 1) ,( 1) x y x y + + + có một giá trị bằng 0, hai giá trị bằng 1. Giải tìm được: ( ; ) (0;0) x y = , ( ; ) (0; 1) x y = − , ( ; ) ( 1;0) x y = − . Vậy các cặp số thỏa đề là: ( ; ) ( ; ) x y m m = (m là số nguyên tùy ý), ( ; ) (0; 1) x y = − , ( ; ) ( 1;0) x y = − .

0.25

Nhận xét:

2 2 2 2 0 ( 1) 0 x y xy x y x y x y y + + + + = ⇔ + + + + = (*) + Phương trình (*) có nghiệm theo x khi

2 2 0 ( 1) 4( ) 0 ( 1)( 3 1) 0 y y y y y ∆≥ ⇔ + − + ≥ ⇔ + − + ≥ ( ) 1 1 3 y y ⇔−≤ ≤ ∈

1 y ⇔ = − hoặc 0 y = .

0.25

+ Với 0 y = , giải tìm được 0, 1. x x = = − + Với 1 y = −, giải tìm được 0. x = 0.25