Đề tuyển sinh THPT chuyên môn Toán năm 2022 2023 sở GD ĐT Quảng Trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa ngày 06 tháng 6 năm 2022

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

( )

2 2 2 2 ( 1) 1 1

x x P x x x

  − +   = − −   −   +  

với 0, 1. x x ≥ ≠

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Câu 2. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình ( ) 2 3 2 4 1 6 1. x x x x + = − + −

2. Gọi 1, x 2x là hai nghiệm của phương trình

2 11 4 0. x x − + = Hãy lập một phương trình bậc hai nhận hai số 1 2 1 2 x x x + và 2 1 2 2 x x x + làm hai nghiệm. Câu 3. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn 2 2 2 1. q p − =

2. Ba cầu thủ của một đội bóng trò chuyện với nhau về số áo được in trên áo mỗi người, nội dung như sau:

An: Tôi nhận ra rằng các số trên áo của chúng ta đều là số nguyên tố có hai chữ số. Bình: Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi đã trôi qua vào tháng này. Chung: Thật thú vị! Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi sắp tới vào tháng này.

An: Và tổng hai số trên áo hai bạn là ngày hôm nay. Hãy xác định số áo của An, Bình và Chung.

Câu 4. (1,0 điểm)

1. Cho biểu thức

2 ( ) f x ax bx c = + + (với , , , 0). a b c a ∈ >  Đặt

2 4 . b ac ∆= − Chứng minh rằng nếu 0 ∆≤ thì ( ) 0 f x ≥ với mọi số thực .x 2. Chứng minh rằng với mọi số thực , , x y z ta có:

( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 . x x y y z z xyz x y z − + − + − + ≥+ +

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở B có BD là đường cao ( ). D AC ∈ M là điểm thuộc đường trung trực ∆ của đoạn thẳng . CD Đường tròn đường kính MA cắt đường tròn tâm A bán kính AB tại E và . F

a) Chứng minh 2 . . AD AE AC =

b) Chứng minh . MC ME =

c) Khi M di động trên , ∆ chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định. ------------------- HẾT -------------------

Họ và tên thí sinh:..............................................................Số báo danh:.....................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa ngày 06 tháng 6 năm 2022

(Hướng dẫn chấm có 02 trang)

Câu Ý Nội dung yêu cầu Điểm

1 (2,0 điểm)

a

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x x x x x x x x

x x x x x x

− − + + − + − = − − − + +

= − − − = − − − − + + + +

0,5

Suy ra ( )

2 1 1 2 2 P x x x x = − − − + = − + 0,5

b

Ta có

2 1 1 2 2 2 P x   − +    = − 

0,5

Suy ra 1 2 P ≤ ; P đạt GTLN bằng 1 2 khi 1 4 x = 0,5

2 (2,0 điểm)

1

Điều kiện: 1 x ≥ 0,25

( ) ( ) ( )( )

3 2 2 2 4 1 6 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 x x x x x x x x x x x + = − + −⇔ + = − + ⇔ + − − = 0,25 Ta được 2 1 0 x x − −= (do 1 x ≥) 0,25 Từ đó tìm được 2 x = 0,25

2

Từ giả thiết ta có: 1 2 11; x x + = 1 2 . 4 x x = 0,25 Giả sử lập được phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 1 2 1 2 X x x x = + và

2 2 1 2 2 . X x x x = + Dễ thấy 1 2 0, 0. X X > >

Ta có: ( ) 1 1 1 2 1 2 4 X x x x x = + = , ( ) 2 2 2 1 2 2 4 X x x x x = + =

Suy ra 1 2 1 2 16 32 (1) X X x x = = 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 16 2 176 240 X X x x X X X X X X + = + ⇔ + − = ⇔ + =

Suy ra 1 2

1 2

4 15 (2) 4 15

X X

X X

 + =  + = − 

0,25 Từ (1),(2) , kết hợp với 1 2 0, 0 X X > > suy ra phương trình thỏa mãn yêu cầu

bài toán là

2 4 15 32 0 x x − + = 0,25

3 (2,0 điểm)

1

Từ giả thiết, ta có 2 2 1 2 p q = + , suy ra p lẻ 0,25 Khi đó

2 2 1 ( 1)( 1) 4 2 p p p q = −= − +  nên 2. q Mà q nguyên tố, nên 2 q = 0,5 Suy ra 3. p = Vậy 3, 2 p q = = 0,25

2

Gọi , , A B C lần lượt là số áo của An, Bình và Chung Ta có , , A B C đều là số nguyên tố có 2 chữ số, không lớn hơn 31 và tổng 2 số bất kì trong 3 số này không vượt quá 31. Suy ra { } , , 11;13;17 A B C ∈ 0,25 Từ giả thiết ta cũng suy ra được: A C B C A B C A B + < + < + ⇒ < < 0,5 Vậy số áo của An là 13, số áo của Bình là 17, số áo của Chung là 11 0,25