Đề tuyển sinh chuyên môn Toán (chuyên) năm 2023 2024 sở GD ĐT Hà Nam

Câu I. (2,0 điểm)

Cho biểu thức 1 1 2 1 1 2 x x x x A x x x x x

   − + − = −    − + + − −   

với 0, 1, 4. x x x ≥ ≠ ≠

1. Rút gọn biểu thức .A 2. Tìm tất cả các số nguyên của x để 2 1 1 2 . A A − + = Câu II. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình

2 2 ( 1) 6 16 2 6 4. x x x x x − + + = − +

2. Giải hệ phương trình

3 2 3

2 2 2 2 (2 ) 2 6 3 . 3( ) 7 5 5 14 4

x xy y x x x xy y y

x y x y y x

 + − + + = + +  + + + + + = − − 

Câu III. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2024 2027 2 2 2n + + là số chính phương. Câu IV. (4,0 điểm) Cho đường tròn ( ) O có dây cung BC cố định và không đi qua tâm O . Gọi A là

điểm di động trên đường tròn ( ) O sao cho tam giác ABC nhọn và . AB AC < Gọi M là

trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm tam giác . ABC Tia MH cắt đường tròn ( ) O

tại K , đường thẳng AH cắt cạnh BC tại D và AE là đường kính của đường tròn ( ) O .

1. Chứng minh  . BAD CAE = 2. Chứng minh rằng tứ giác BHCE là hình bình hành và . . HA HD HK HM = . 3. Tia KD cắt đường tròn ( ) O tại I ( I khác K ), đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng BC cắt AM tại J . Chứng minh rằng các đường thẳng , AK BC và HJ cùng đi qua một điểm. 4. Một đường tròn thay đổi luôn tiếp xúc với AK tại A và cắt các cạnh , AB AC lần lượt tại , P Q phân biệt. Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng PQ . Chứng minh rằng đường thẳng AN luôn đi qua một điểm cố định.

Câu V. (1,0 điểm) Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1 1 1 1 + + = a b c .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 1 1 1

5 2 2 5 2 2 5 2 2 = + + + + + + + + P a ab b b bc c c ca a

.

--- HẾT--- Thí sinh được sử dụng máy tính bỏ túi không có chức năng soạn thảo văn bản và không có thẻ nhớ.

Họ và tên thí sinh:………………………...Số báo danh:.................................................

Cán bộ coi thi số 1……………………… Cán bộ coi thi số 2…………….........................

UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: TOÁN (Đề chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học: 2023-2024 (Hướng dẫn chấm thi có 06 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (ĐỀ CHUYÊN)

Ghi chú:

- Điểm toàn bài không làm tròn.

- Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương.

Nội dung Điểm Câu I (2,0 điểm) .

Cho biểu thức 1 1 2 1 1 2 x x x x A x x x x x

   − + − = −    − + + − −   

với 0, 1, 4. x x x ≥ ≠ ≠

1.(1,5 điểm) Rút gọn biểu thức .A

( )

( )( ) ( )( )

3 1 1 2 . 1 1 1 1 2

x x x A x x x x x x

  − + −   = −   + + + − + −  

0,5

( )( ) ( )( )

( 1)( 1) 1 2 . 1 1 1 1 2

x x x x x x x x x x x

  − + + + −   = −   + + + − + −  

0,25

( )

1 1 1 1 1 x x x   = − −   − +  

0,25

( )( )( )

2 1 1 1 x x x = − − +

0,25

2 . 1 x = +

0,25

2.(0,5 điểm) Tìm tất cả các số nguyên của x để 2 1 1 2 . A A − + =

+) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 0 2 A A A A A A − + = ⇔ − = −⇔ −≥ ⇔ ≥ 0,25

+) 2 1 3 9 2 1 x x x ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ +

Kết hợp với điều kiện { } 0; 1; 4 0;2;3;5;6;7;8;9 x x x x ≥ ≠ ≠ ⇒ ∈

0,25

Câu II (2,0 điểm).

1.(1,0 điểm) Giải phương trình

2 2 ( 1) 6 16 2 6 4. x x x x x − + + = − +

2 2 2 ( 1) 6 16 2 6 4 ( 1) 6 16 ( 1)(2 4) x x x x x x x x x x − + + = − + ⇔ − + + = − −

2 ( 1)( 6 16 2 4) 0 x x x x ⇔ − + + − + =

0,25

+) 1 0 1 x x −= ⇔ = 0,25

+) 2 2 2 2 4 0 6 16 2 4 6 16 (2 4)

x x x x x x x

− ≥  + + = − ⇔ + + = − 