Đề tuyển sinh môn Toán (chung) năm 2023 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI −VÒNG 1

Câu 1

a) Rút gọn biểu thức:

A = x2 + 8√x x −2√x + 4 + 2x + √x √x + 16 −4x √x + 1 (x > 0)

b) Một khay nước có nhiệt độ125◦F khi bắt đầu cho vào tủđá. Ởtrong tủđá, cứsau mỗi giờ, nhiệt độkhay nước lại giảm đi 20%. Hỏi sau bao nhiêu giờ, nhiệt độkhay nước chỉcòn là 64◦F.

Lời giải.

a) Đặt √x = a, suy ra x = a2. Khi đó ta được biểu thức

A = a4 + 8a a2 −2a + 4 + 2a2 + a

a + 16 −4a2

a + 2

= a(a + 2)(a2 −2a + 4)

a2 −2a + 4 + 2a2 + a

a + 16 −4a2

a + 2 = a(a + 2) + 2a + 1 −4(a −2) = a2 + 9 = x + 9.

b) Nhiệt độcủa khay nước sau mỗi giờcòn lại 80% = 4

5. Gọi t (giờ) là thời gian đểnhiệt dộ

giảm về64oF. Khi đó ta có phương trình sau

4

5

t · 125 = 64 ⇔ 4

5

t = 64

125 = 4

5

3

⇔t = 3.

Vậy sau 3 giờnhiệt độcủa khay đá giảm về64◦F.

∇

2

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI −VÒNG 1

Câu 2

a) Cho phương trình:

x2 −(2m −1) x − m2 + 1 = 0 m là tham số (1)

Chứng minh rằng với mọi giá trịcủa m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2. Tìm hệthức liên hệgiữa x1, x2 sao cho hệthức đó không phụthuộc vào m.

b) Cho parabol (D) : y = ax2 (a ̸= 0) đi qua A −1; −1

2

. Tìm tọa độđiểm M trên (P)

sao cho khoảng cách từM đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từM đến trục hoành.

Lời giải.

a) Ta có ∆(1) = [−(2m −1)]2 −4.1.[−(m2 + 1)] = (2m −1)2 + 4m2 + 4 > 0, vì thếvới mọi m, phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Theo hệthức Vi-et thì x1 + x2 = 2m −1 và x1.x2 = −(m2 + 1). Khi đó ta được ( 4m2 = (x1 + x2 + 1)2

m2 = −1 −x1.x2

Từđây ta được (x1 + x2 + 1)2 + 4x1x2 + 4 = 0. Hệthức này không phụthuộc vào m. Bài toán được chứng minh.

b) Do parabol (P) : y = ax2 (a ̸= 0) đi qua điểm A −1; 1

2

nên

a · (−1)2 = 1

2 ⇔a = 1

2.

Khi đó parabol (P) : y = 1

2x2, ta đặt M xM; 1

2x2 M

. Tức là khoảng cách từđiểm M đến

trục tung là xM, khoảng cách từđiểm M đến trục hoành là 1

2x2 M.

Do khoảng cách từM đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từM đến trục hoành nên

xM = 2 · 1

2x2 M ⇔xM = x2 M

⇔xM (xM −1) = 0 ⇔xM = 0 hoặc xM = 1.

Vậy tất cảtọa độđiểm M thỏa mãn bài toán là M(0; 0) hoặc M 1; 1

2

.

∇

3

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI −VÒNG 1

Câu 3 Cho hình bình hành ABCD có [ ABC = 120◦và BC = 2AB. Dựng đường tròn (O) có đường kính AC. Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứhai của AB, AD với đường tròn (O). Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng BC, BD tại H, S. Chứng minh

a) Tam giác ABD là tam giác vuông.

b) Tứgiác OBEH là tứgiác nội tiếp.

c) SC là tiếp tuyến của dường tròn (O).

Lời giải.

T

S

H

E

F

O

C

D A

B

a) Gọi T là trung điểm của AD. Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD, BC ∥AD nên

\ BAD = 180◦−[ ABC = 180◦−120◦= 60◦

và TA = 1

2AD = 1

2BC = AB nên tam giác ABT đều suy ra TB = TA = TD.

Từđây ta được B thuộc đường tròn đường kính AT hay \ ABD = 90◦. Bài toán được chứng minh.

b) Theo câu a) từ\ ABD = 90◦ta được OB ⊥AE nên B là trung điểm của AE. Mà BH ∥AF nên BH là đường trung bình của tam giác EAF.

4