Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2023 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI −VÒNG 2

Câu 1

1 Chứng minh rằng tích của bốn sốnguyên liên tiếp cộng với 1 là bình phương của một sốnguyên.

2 Tìm các cặp sốnguyên (x, y) là nghiệm của hệphương trình ( 2xy −x = 10 x + y + xy = 11.

Lời giải.

1 Gọi 4 sốnguyên liên tiếp bất kỳlà a, a + 1, a + 2, a + 3 với a ∈Z. Ta có các biến đổi sau

a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + 1 = a2 + 3a a2 + 3a + 2 + 1

= a2 + 3a 2 + 2 a2 + 3a + 1

= a2 + 3a + 1 2 .

Vì (a2 + 3a + 1)2 là một sốchính phương nên bài toán được chứng minh.

2 Bằng các phép biến đổi ta được hệphương trình sau ( 2xy −x = 10 x + y + xy = 11. ⇔

( x (2y −1) = 10 (x + 1) (y + 1) = 12. (1)

Vì x, y nguyên nên x, 2y −1 nguyên do đó 2y −1 là ước lẻcủa 10. Ta xét các trường hợp sau.

† 2y −1 = 1 suy ra y = 1 và x = 10 thay vào (1) không thỏa mãn.

† 2y −1 = −1 suy ra y = 0 và x = −10 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

† 2y −1 = 5 suy ra y = 3 và x = 2 thay vào (1) ta thấy thỏa mãn.

† 2y −1 = −5 suy ra y = −2 và x = −2 thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy cặp sốnguyên (x, y) thỏa mãn duy nhất là (x, y) = (2, 3).

∇ ! Câu 1a) là một câu quen thuộc mang tính chất cho điểm cho các thí sinh thi vòng 2.

2

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI −VÒNG 2

Câu 2

a) Cho a, b là các sốthực không âm, c là sốthực dương thỏa mãn đẳng thức √a − √

a + b −c = √

b + √c.

Chứng minh rằng 3√a + 3√

b − 3√c = 3√

a + b −c.

b) Tìm tất cảcác sốnguyên dương a, b sao cho số √

3 + √a √

5 + √

b

là sốhữu tỷ.

Lời giải.

a) Bằng các phép biến đổi biểu thức kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có √a − √

a + b −c = √

b + √c ⇔√a − √

b = √c + √

a + b −c

⇒a + b −2 √

ab = a + b + 2 p

c (a + b −c)

⇔ √

ab + p

c (a + b −c) = 0

⇔

( ab = 0 (a + b −c) = 0 (*)

Ta cần chứng minh

3√a + 3√

b − 3√c = 3√

a + b + c.

Ta biến đổi tương đương đẳng thức này kết hợp với a, b không âm và c thực dương, ta có

3√a + 3√

b − 3√c = 3√

a + b −c ⇔ 3√a + 3√

b = 3√c + 3√

a + b −c

⇔a + b + 3 3√

a2b + 3√

ab2 = a + b + 3

3p

c2(a + b −c) + 3q

c (a + b −c)2

⇔ 3√

a2b + 3√

ab2 =

3p

c2(a + b −c) + 3q

c (a + b −c)2

Đẳng thức cuối đúng với điều kiện (∗) nên đẳng thức đầu đúng. Bài toán được chứng minh.

b) Lấy α ∈Q sao cho √

3 + √a √

5 + √

b = α.

Viết lại phương trình dưới dạng √a −α √

b = α √

5 − √

3.

Bình phương 2 vếta có

a + α2b −2α √

ab = 5α2 + 3 −2α √

15.

Từđó suy ra √

ab − √

15 = β ∈Q.

Bình phương 2 vếđẳng thức √

ab = √

15 + β ta được

3

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI −VÒNG 2

ab = 15 + β2 + 2β √

15 ⇔2β √

15 = ab −15 −β2.

Đẳng thức cuối xảy ra khi và chỉkhi β = 0; tức là ab = 15. Xét tất cảkhảnăng có thểxảy ra, ta được.

† a = 1, b = 15, tức là α =

√

3 + 1 √

5 + √

15 = 1 √

5 là 1 sốvô tỷ.

† a = 3, b = 5, tức là α = 2 √

3 2 √

5 =

√

3 √

5 là 1 sốvô tỷ.

† a = 5, b = 3, tức là α =

√

3 + √

5 √

5 + √

3 = 1 là 1 sốhữu tỷ.

† a = 15, b = 1, tức là α =

√

3 + √

15 √

5 + 1 = √

3, 1 sốvô tỷ.

Vậy tất cảcác cặp (a, b) thỏa mãn là a = 5, b = 3.

∇

!

Các bạn có thểtham khảo bài toán gốc của câu 2b) như sau. Tìm tất cảcác sốnguyên dương a, b sao cho số √

2 + √a √

3 + √

b

là sốhữu tỷ.

Romanian Mathematical Olympiad 2002 −2003

4