Đề tuyển sinh vào môn Toán năm 2023 2024 sở GD ĐT Quảng Ninh

LỜI GIẢI CHI TIẾT Phạm Văn Ninh & Nguyễn Việt Dũng (GV THPT Chuyên Hạ Long)

Bài 1: (a) Thực hiện phép tính 2 √

9 − √

16

(b) Xác định hệsốcủa a đểđồthịhàm sốy = ax2 đi qua điểm A(1; 2).

(c) Giải hệphương trình ( 2x + y = 7 x −2y = −4

(d) Rút gọn biểu thức

P = 1 √x −3 + 2 √x + 3

: √x −1 √x −3

Lời giải

(a) 2 √

9 − √

16 = 2.3 −4 = 2

(b) Đồthịhàm sốy = ax2 đi qua điểm A(1; 2) khi và chỉkhi a.12 = 2 ⇔a = 2.

(c) Xét hệ: ( 2x + y = 7(1) x −2y = −4(2)

Từphương trình (1) ta có y = 7 −2x. Thay vào phương trình (2) ta có:

x −2(7 −2x) = −4 ⇔5x −14 = −4 ⇔x = 2

Khi đó y = 7 −2.2 = 3. Vậy tất cảcác nghiệm của hệphương trình đã cho là (x, y) = (2, 3).

(d) Đkxđ: x ≥0, x ̸= 9, x ̸= 1. Ta có biến đổi:

P = 1 √x −3 + 2 √x + 3

: √x −1 √x −3

= √x + 3 + 2(√x −3)

(√x + 3)(√x −3) . √x −3 √x −1

= 3√x −3 (√x + 3)(√x −3). √x −3 √x −1

= 3 √x + 3

Vậy ta có P = 3 √x + 3.

Bài 2: Cho phương trình x2 −2(m + 1)x −9 = 0 với m là tham số.

1. Giải phương trình khi m = 3.

2. Tìm tất cảcác giá trịcủa m đểphương trình có nghiệm x = 2.

3

3. Tìm tất cảcác giá trịcủa m đểphương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 sao cho |x1| −|x2| = −6

Lời giải

1. Khi m = 3, phương trình trởthành:

x2 −8x −9 = 0 (1)

Phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn x, có biệt thức

∆′ = 42 −1.(−9) = 25

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là :

x1 = 4 + √

25 = 9

x2 = 4 − √

25 = −1

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho khi m = 3 là

S = {9; −1}

2. Phương trình có nghiệm là x = 2 khi và chỉkhi:

22 −2(m + 1).2 −9 = 0 ⇔−4m −9 = 0 ⇔m = −9

4

3. Xét phương trình x2 −2(m + 1)x −9 = 0 (2)

Phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x có biệt thức

∆′ = (m + 1)2 + 9 > 0

Vậy nên phương trình sẽluôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m thực. Khi đó theo hệthức Viete ta có: ( x1 + x2 = 2(m + 1) x1x2 = −9

Bởi x1 < x2 và x1x2 = −9 < 0 nên x1 < 0 < x2. Khi đó |x1| −|x2| = −x1 −x2 = −(x1 + x2) = −2(m + 1)

Ta có được:

|x1| −|x2| = −6 ⇔−2(m + 1) = −6 ⇔m + 1 = 3 ⇔m = 2

Vậy m = 2 là tất cảcác giá trịcủa m thoảmãn đềbài.

4

Bài 3: Hai điểm A, B cách nhau 280 km . Hai ô tô cùng xuất phát từA đến B. Biết vận tốc của xe thứnhất lớn hơn vận tốc của xe thứhai 10 km/h và xe thứnhất đến B sớm hơn xe thứhai 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe?

Lời giải

Gọi x (đơn vị: km/h) là vận tốc của xe thứnhất. (ĐK: x > 10)

Khi đó x −10 là vận tốc của xe thứhai.

Thời gian đểxe thứnhất đi từA đến B là 280

x (giờ).

Thời gian đểxe thứhai đi từA đến B là 280 x −10 (giờ).

Bởi xe thứnhất đến B sớm hơn xe thứhai 30 phút nên ta có :

280 x −10 −280

x = 1

2 ⇔ 2800 x(x −10) = 1

2

⇒x(x −10) = 5600 ⇔x2 −10x −5600 = 0

Phương trình ởtrên là phương trình bậc hai ẩn x và có :

∆′ = 52 + 5600 = 5625

Vậy nên phương trình sẽcó hai nghiệm :

x1 = 5 − √

5625 = −70 (loại do không thoảmãn điều kiện x > 10)

x2 = 5 + √

5625 = 80 (lấy do thoảmãn điều kiện x > 10)

Như vậy x = 80 và do đó:

- Vận tốc của xe thứnhất là 80 km/h

- Vận tốc của xe thứhai là 70 km/h.

Bài 4: Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Trên nửa đường tròn (O) lấy điểm A (A ̸= B, A ̸= C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Trên cung AC của nửa đường tròn (O), lấy điểm D (D khác A và C), gọi E là hình chiếu của A lên BD, I là giao điểm của hai đường thẳng AH và BD.

(a) Chứng minh tứgiác ABHE nội tiếp.

(b) Chứng minh BI.BD = BH.BC

(c) Chứng minh rằng tam giác AHE và ACD đồng dạng.

(d) Hai đường thẳng AE và DF cắt nhau tại F. Chứng minh IF ∥AD.

5