Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2023 2024 sở GD ĐT An Giang

Câu 1. (1,0 điểm)

Thực hiện phép tính

𝐴= √7 + 1

3 −2√2

−2√14

√2 −1

+ √7 −2√2.

Câu 2. (1,0 điểm)

Giải hệ phương trình

{𝑥+ √3𝑦= 6 −2√3

𝑥+ 𝑦= 2 .

Câu 3. (1,0 điểm)

Phương trình 𝑥2 + 𝑎𝑥+ 𝑏= 0 (với 𝑎; 𝑏 là các số nguyên) có một nghiệm là 5 + √21 . Tính nghiệm còn lại.

Câu 4. (1,0 điểm)

Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 và 𝑔(𝑥) = −𝑎𝑥+ 𝑏 (𝑎; 𝑏 là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1. Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị.

Câu 5. (1,5 điểm)

Cho 𝑥3 + 𝑦3 = 189 và (𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 1)(𝑦+ 1) = 270 . Tính 𝑥+ 𝑦.

Câu 6. (3,5 điểm)

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 có ba góc đều nhọn, 𝐵𝐻 là đường cao kẻ từ 𝐵 (𝐻∈𝐴𝐶). Gọi 𝐷, 𝐸 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶, 𝐹 là điểm đối xứng của điểm 𝐻 qua 𝐷𝐸.

a. Chứng minh rằng tứ giác 𝐴𝐵𝐹𝐻 nội tiếp. b. Chứng minh 𝐹𝐵𝐴 ̂ = 𝐸𝐹𝐻 ̂. c. Chứng minh rằng 𝐵𝐹 đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶.

Câu 7. (1,0 điểm)

Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng 10cm. Tính độ dài của một sợi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.

------Hết------

Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Phòng thi:. . . . . .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2023-2024 Khóa ngày 03/6/2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề

Dây đai

2

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2023-2024 Khóa ngày: 03/6/2023 MÔN: TOÁN CHUYÊN Câu Lược giải Điểm

Câu1 (1,0đ)

𝐴= √7 + 1

3 −2√2

−2√14

√2 −1

+ √7 −2√2

+ √7 + 1

3 −2√2

= (√7 + 1)(3 + 2√2)

9 −8 = 3√7 + 2√14 + 3 + 2√2

0,25

+ 2√14

√2 −1

= 2√14(√2 + 1) = 4√7 + 2√14 0,25

⇒𝐴= 3√7 + 2√14 + 3 + 2√2 −(4√7 + 2√14) + √7 − 2√2 = 3 Vậy 𝐴= 3. 0,5

Câu2 (1,0đ)

{𝑥+ √3𝑦= 6 −2√3

𝑥+ 𝑦= 2 ⇔{√3𝑦−𝑦= 4 −2√3

𝑥+ 𝑦= 2 ⇔{(√3 −1)𝑦= 4 −2√3

𝑥+ 𝑦= 2

⇒𝑦= 4 −2√3

√3 −1

= (4 −2√3)(√3 + 1)

2 = −1 + √3

0,5

⇒𝑥= 2 −𝑦= 2 −(−1 + √3) = 3 −√3 Hệ có nghiệm 𝑥= 3 −√3; 𝑦= −1 + √3. 0,5

Câu3 (1,0đ)

Phương trình 𝑥2 + 𝑎𝑥+ 𝑏= 0 (với 𝑎; 𝑏 là các số nguyên) có một nghiệm là 5 + √21 . Thay 𝑥= 5 + √21 vào phương trình ta được

(5 + √21)

2 + 𝑎(5 + √21) + 𝑏= 0 0,5 ⇔25 + 10√21 + 21 + 5𝑎+ 𝑎√21 + 𝑏= 0

⇔(10 + 𝑎)√21 + 5𝑎+ 𝑏+ 46 = 0

Vì 𝑎, 𝑏 là các số nguyên nên

{ 10 + 𝑎= 0 5𝑎+ 𝑏+ 46 = 0 ⇔{ 𝑎= −10 −50 + 𝑏+ 46 = 0 ⇔{𝑎= −10

𝑏= 4

0,5 Phương trình trở thành 𝑥2 −10𝑥+ 4 = 0 do 𝑥1 + 𝑥2 = 10 ⇒𝑥2 = 10 −𝑥1 = 10 −(5 + √21) = 5 −√21 Vậy nghiệm còn lại là 5 −√21.

Câu4 (1,0đ)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

là 𝑎𝑥2 = −𝑎𝑥+ 𝑏

⇔𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥−𝑏= 0

1,0

Dựa vào hình vẽ phương trình có một nghiệm

𝑥1 = 1 , nghiệm còn lại

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑎

𝑎= −1

1 + 𝑥2 = −1 ⇔𝑥2 = −2 Vậy giao điểm thứ hai có hoành độ 𝑥= −2.

3

Câu5 (1,5đ)

Cho 𝑥3 + 𝑦3 = 189 và (𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 1)(𝑦+ 1) = 270 . Tính 𝑥+ 𝑦.

Đặt 𝑆= 𝑥+ 𝑦; 𝑃= 𝑥𝑦 ta được 0,5 𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥+ 𝑦)(𝑥2 −𝑥𝑦+ 𝑦2) = 𝑆(𝑆2 −3𝑃) = 𝑆3 −3𝑆𝑃 (𝑥+ 𝑦)(𝑥+ 1)(𝑦+ 1) = (𝑥+ 𝑦)(𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦+ 1) = 𝑆(𝑆+ 𝑃+ 1)

= 𝑆2 + 𝑆𝑃+ 𝑆

0,5 Theo giả thiết ta có

{ 𝑆3 −3𝑆𝑃= 189

𝑆2 + 𝑆𝑃+ 𝑆= 270

⇒𝑆3 + 3𝑆2 + 3𝑆= 999

0,5 ⇔𝑆3 + 3𝑆2 + 3𝑆+ 1 = 1000 ⇔(𝑆+ 1)3 = 1000 ⇒𝑆+ 1 = 10 ⇔𝑆= 9 Vậy 𝑥+ 𝑦= 9.

Câu6a

(1,5đ)

Ta có tam giác 𝐴𝐻𝐵 vuông tại 𝐻, 𝐷 là trung điểm 𝐴𝐵 nên 𝐴𝐷= 𝐷𝐵= 𝐷𝐻 (tính chất trung tuyến của tam giác vuông).

(Hình vẽ 0,5đ)

0,5

𝐷𝐻= 𝐷𝐹 (do 𝐻 và 𝐹 đối xứng nhau qua 𝐷𝐸) ⇒𝐷𝐴= 𝐷𝐻= 𝐷𝐹= 𝐷𝐵. Vậy tứ giác 𝐴𝐵𝐹𝐻 nội tiếp trong đường tròn có tâm 𝐷.

0,5

Câu6b

(1,0đ)

Tứ giác 𝐴𝐵𝐹𝐻 nội tiếp trong đường tròn có tâm 𝐷 Suy ra 𝐹𝐵𝐴 ̂ = 𝐹𝐻𝐸 ̂ (cùng bù với 𝐹𝐻𝐴 ̂)

0,5

𝐸𝐹𝐻 ̂ = 𝐹𝐻𝐸 ̂ (do 𝐹, 𝐻 đối xứng qua 𝐷𝐸)

⇒𝐹𝐵𝐴 ̂ = 𝐸𝐹𝐻 ̂ 0,5

Câu6c

(1,0đ)

Giả sử 𝑂 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 khi đó 𝐴𝐶𝐵 ̂ =

1

2 𝐴𝑂𝐵 ̂ và ngược lại, do 𝐷 là trung điểm 𝐴𝐵 nên

𝐴𝐶𝐵 ̂ = 𝐷𝑂𝐵 ̂ = 900 −𝑂𝐵𝐴 ̂ Do đó ta chỉ cần chứng minh

𝐴𝐶𝐵 ̂ = 900 −𝐹𝐵𝐴 ̂ thì 𝐵𝐹 đi qua 𝑂.

0,5

Thật vậy 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 𝐴𝐸𝐷 ̂ (do 𝐸𝐷 song song 𝐶𝐵) 𝐴𝐸𝐷 ̂ = 900 −𝐸𝐻𝐹 ̂ = 900 −𝐸𝐹𝐻 ̂ = 900 −𝐹𝐵𝐴 ̂ (chứng minh câu b) Vậy 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 900 −𝐹𝐵𝐴 ̂. Điều phải …