Đề tuyển sinh môn Toán (chung) năm 2023 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 2

2. PHẦN LỜI GIẢI

Câu 1: (3,5 điểm)

1. Giải phương trình p

x2 +6x+2023+ √

x+3 = p

x2 +5x+2025+ √

5.

2. Giải hệphương trình (x+6y)(3x+2y) = 12 2x3 +6y3 +15x2y+19y2x+x+6y = 12.

Lời giải.

1. Điều kiện xác định: x ≥−3.

Cách 1. Xét x > 2 thì vì (x2 +6x+2023)−(x2 +5x+2025) = x−2 > 0 và (x+3)−5 = x−2 > 0 nên suy ra p

x2 +6x+2023+ √

x+3 ≥ p

x2 +5x+2025+ √

5.

Tương tựnếu −3 ≤x < 2 thì p

x2 +6x+2023+ √

x+3 ≤ p

x2 +5x+2025+ √

5.

Do đó, ta phải có x = 2 và nghiệm này thoảmãn điều kiện xác định. Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Cách 2. Phương trình đã cho có thểviết lại thành p

x2 +6x+2023− √

5 = p

x2 +5x+2025− √

x+3.

Giảsửhai vếcùng dấu, bình phương hai vếvà rút gọn, ta được q

5(x2 +6x+2023) = q

(x2 +5x+2025)(x+3).

Bình phương một lần nữa, khai triển và rút gọn, ta được

(x−2)(x2 +5x+2020) = 0.

Vì x2 +5x+2020 = 0 vô nghiệm nên x = 2 và nghiệm này thoảmãn.

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

2. Biến đổi phương trình thứhai thành

(x+6y)(2x2 +3xy+y2 +1) = 12.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3

Kết hợp với phương trình thứnhất ta suy ra

(x+6y)(3x+2y) = (x+6y)(2x2 +3xy+y2 +1).

Mà ta thấy x+6y ̸= 0 nên chia cảhai vếphương trình trên cho x+6y ta được

2x2 +3xy+y2 +1 = 3x+2y.

Biến đổi phương trình trên ta được

0 = 2x2 +3xy+y2 −3x−2y+1 = (2x+y)(x+y)−(2x+y)−(x+y)+1 = (2x+y−1)(x+y−1)

nên suy ra 2x+y−1 = 0 hoặc x+y−1 = 0.

• Nếu 2x+y−1 = 0 thì ta có y = 1−2x. Thay vào phương trình thứnhất ta được

(x+6−12x)(3x+2−4x) = 12.

Giải phương trình ta thu được các nghiệm (x,y) = (0,1), 28

11, −45

11

.

• Nếu x+y−1 = 0 thì ta có y = 1−x. Thay voà phương trình thứnhất ta được

(x+6−6x)(3x+2−2x) = 12.

Giải phương trình ta thu được các nghiệm (x,y) = (0,1), −4

5 , 9

5

.

Vậy, hệđã cho có ba nghiệm (x,y) = (0,1), 28

11, −45

11

, −4

5 , 9

5

.

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 4

Câu 2: (2,5 điểm)

1) Giảsửn là sốnguyễn sao cho 3n3 −1011 chia hết cho 1008. Chứng minh rằng n−1 chia hết cho 48 .

2) Với a,b,c là các sốdương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca = 1. Chứng minh rằng 1+ 1 1+a2

1+ 1 1+b2

1+ 1 1+c2

> 4.

Lời giải.

1. Ta có các biến đổi sau 1008 | 3n3 −1011 = 3n3 −3−1008 khi và chỉkhi 1008 | 3n3 −3 = 3(n3 −1) tương đương với

336 | n3 −1 = (n−1)(n2 +n+1) = n3 −n+n−1.

Vì 336 chia hết cho 16 mà n2 +n+1 = n(n+1)+1 lẻnên n−1 chia hết cho 16. Ngoài ra vì 336 chia hết cho 3 mà n3 −n = n(n −1)(n + 1) tích ba sốnguyên liên tiếp chia hết cho 3 nên n−1 chia hết cho 3. Vì (3,16) = 1 nên n−1 chia hết cho 3.16 = 48. Phép chứng minh hoàn tất.

2. Ta cần chứng minh 1+ 1 1+a2

1+ 1 1+b2

1+ 1 1+c2

> 4. (1)

Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức (1) như sau.

(1) ⇔ 2+a2

1+a2

2+b2

1+b2

2+c2

1+c2

> 4

⇔ 2+a2 2+b2 2+c2 > 4 1+a2 1+b2 1+c2

⇔3(abc)2 +2 a2b2 +b2c2 +c2a2 < 4

⇔3(abc)2 +2 (ab+bc+ac)2 −2abc(a+b+c) < 4

⇔3(abc)2 +2(1−2abc(a+b+c)) < 4

⇔3(abc)2 −4abc(a+b+c) < 2. (2)

Theo bất đẳng thức AM −GM và giảthiết ta có 1 = ab + bc + ac ≥3 3√

a2b2c2 kéo theo

3(abc)2 ≤1

9 < 2. Suy ra bất đẳng thức (2) đúng và bài toán được chứng minh.