Đề tuyển sinh môn Toán (vòng 2) năm 2023 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 2

2. PHẦN LỜI GIẢI

Câu 1: (3 điểm)

1) Giải phương trình 2x+1+2 p

4x2 +6x = 4 p

5x−x2.

2) Giải hệphương trình ( xy(x+y) = 30, x3 +y3 = 30+ 3√x+y+120.

Lời giải.

1) Điều kiện: 0 ≤x ≤5. Ta biến đổi phương trình thành

x+2√x √

4x+6+4x+6 = 4x+4√x √

5−x+5−x.

Sửdụng hằng đẳng thức, ta thu được

(√x+ √

4x+6)2 = (2√x+ √

5−x)2

Suy ra √x+ √

4x+6 = 2√x+ √

5−x (do từng vếđều không âm), hay √

4x+6 = √x+ √

5−x.

Bình phương hai vếcủa phương trình này ta có

4x+6 = x+5−x+2 p

x(5−x)

hay 4x +1 = 2 p

x(5−x). Tiếp tục ta bình phương hai vếvới điều kiện 4x +1 ≥0 (đã thoả mãn) được 16x2 +8x+1 = 4x(5−x).

Giải phương trình trên ta thu được x = 1

2 và x = 1

10 (đều thoảmãn điều kiện).

Vậy, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x = 1

2,x = 1

10.

2) Đặt S = x+y,P = xy. Ta có

x3 +y3 = (x+y)3 −3xy(x+y) = S3 −3SP.

Khi đó hệphương trình trởthành ( SP = 30, S3 −3SP = 30+ 3√

S+120.

Thay SP = 30 vào phương trình thứhai ta có

S3 = 120+ 3√

S+120.

hay S3 +S = (S+120)+ 3√

S+120. Ta nhận thấy

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 3

• Nếu S > 3√

S+120 thì S3 > S+120, suy ra

S3 +S > (S+120)+ 3√

S+120,

loại.

• Nếu S < 3√

S+120 thì S3 < S+120, suy ra

S3 +S < (S+120)+ 3√

S+120,

loại.

Như vậy ta có S = 3√

S+120, hay S3 −S−120 = 0. Giải phương trình ta thu được S = 5, khi

đó P = 30

S = 6. Vậy ta có ( x+y = 5, xy = 6.

Theo Vi-ét đảo thì x,y là hai nghiệm của phương trình

X2 −5X +6 = 0.

Giải phương trình ta thu được (x,y) = (2,3) hoặc (3,2).

Vậy, hệđã cho có hai nghiệm (x,y) là (2,3) và (3,2).

Câu lạc bộToán A1, Hotline: 034 761 1986 - 035 290 3286 4

Câu 2: (3 điểm)

1) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên dương (x;y) thỏa mãn

4x +(1+3y)(1+7y) = 2x (3y +7y +2)

2) Với x,y,z là những sốthực dương, tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức:

M = x14 −x6 +3

x2y2 +zx+zy + y14 −y6 +3

y2z2 +xy+xz + z14 −z6 +3

z2x2 +yz+yx

Lời giải.

1) Cách 1. Ta có các biến đổi phương trình sau

4x +(1+3y)(1+7y) = 2x (3y +7y +2) ⇔22x −1+2+3y +7y +21y = 2x (3y +7y +2) ⇔(2x −1)(3y +7y +1−2x) = 21y (1)

Ta chứng minh gcd(2x−1,3y+7y+1−2x) = 1. Thật vậy, nếu gcd(2x−1,3y+7y+1−2x) > 1 thì gọi p là ước nguyên tốchung của 2x −1,3y +7y +1−2x. Suy ra p | 3y +7y. Chú ý là 3x + 7y đều không chia hết cho 3,7 nên p ̸= 3,7. Lại có p | 21y nên p ∈{3,7} mâu thuẫn. Vậy gcd(2x −1,3y +7y +1−2x) = 1. Ta xét hai trường hợp sau

• Nếu x là sốchẵn thì 2x −1 chia hết cho 3 và 3y +7y +1−2x chia 3 dư 1. Khi đó, từphương trình (1) ta có ( 2x −1 = 3y

3y +7y +1−2x = 7y. .

Suy ra 2x = 3y +1. Chú ý là 3y ≡1,3 (mod 8) nên 3y +1 không chia hết cho 8. Từđó x = 2 và y = 1. Vậy (x,y) = (2,1).

• Nếu x là sốlẻthì 2x −1 chia 3 dư 1 và 3y +7y +1−2x chia hết cho 3. Khi đó, từphương trình (1) ta có ( 2x −1 = 7y

3y +7y +1−2x = 3y

Suy ra 2x = 7y +1. Vếphải chia 7 dư 1 nên vếtrái chia 7 dư 1. Từđó x = 3k,k ∈N∗và thay vào phương trình được

(2k −1)(22k +2k +1) = 7y.

Vì gcd(2k −1,22k +2k +1) ∈{1,3} nên gcd(2k −1,22k +2k +1) = 1. Vì 22k +2k +1 > 1 nên 2k −1 = 1 suy ra k = 1 và 7y = 7 nên y = 1 và x = 3k = 3. Vậy (x,y) = (3,1).

Vậy tất cảcác cặp số(x,y) thỏa mãn là (2,1),(3,1).

Cách 2. Phương trình đã cho có thểviết lại thành

(2x −7y −1)(2x −3y −1) = 0.

Tới đây giải giống hai trường hợp ởtrên.