Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2023 2024 sở GD ĐT TP Hồ Chí Minh

Lời giải tham khảo đềthi tuyển sinh 10 chuyên toán TPHCM 2023 1

Lời giải tham khảo đềthi tuyển sinh 10 chuyên toán TPHCM 2023

Nguyễn Thái An - Nguyễn Phú Bảo Khang - Trần Minh Khôi

1 Đềthi

Bài 1. (1, 0 điểm)

Cho a,b là sốthực b ̸= 0 thoảmãn điều kiện

a2 +b2 = 4b2 √

a2 +b2 +a +a p

a2 +b2.

Tính giá trịcủa biểu thức P = a2 +b2.

Bài 2 (2, 5 điểm)

a) Giải phương trình: x = 5 x−1 +2√x−2.

b) Giải hệphương trình:

 



9y+49

x+y +x+y = 23,

x√x+y√y = 7 √x+√y .

Bài 3 (2, 5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC), có đường cao AH. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi J là giao điểm của AI và DE;K là trung điểm của AB.

a) Chứng minh tứgiác BIJD nội tiếp.

b) Gọi M là giao điểm của KI và AC,N là giao điểm của AH và ED.

c) Gọi Q là giao điểm của DI và EF, P là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A,P,Q thẳng hàng.

Bài 4 (2,0 điểm)

Cho các sốthực dương x,y,z thỏa mãn √1+4xy+2x+2y+2z = 5.

a) Chứng minh 1 p

(2x+1)(2y+1) + 1 2z+1 ⩾2

3.

b) Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức P = x+1

2x+1 + y+1

2y+1 + 2z+3

4z+2.

2

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho EF, GH cùng tiếp xúc với (O).

a) Chứng minh CG·AH = AO2.

b) Chứng minh EH song song FG.

Bài 6 (1,0 điểm)

Xét các sốnguyên a < b < c thỏa mãn n = a3 +b3 +c3 −3abc là sốnguyên tố.

a) Chứng minh: a < 0.

b) Tìm tất cảcác sốnguyên dương a,b,c (a < b < c) sao cho n là ước của 2023.

2 Lời giải chi tiết

Bài 1

Cho a,b là sốthực b ̸= 0 thoảmãn điều kiện

a2 +b2 = 4b2 √

a2 +b2 +a +a p

a2 +b2.

Tính giá trịcủa biểu thức P = a2 +b2.

Lời giải.

Do b ̸= 0 nên √

a2 +b2 ̸= a.

Từgiảthiết, ta biến đổi

⇔a2 +b2 = 4b2 √

a2 +b2 −a

b2 +a √

a2 +b2 = 4 √

a2 +b2 −4a+a √

a2 +b2.

⇔ √

a2 +b2 √

a2 +b2 −4 −a √

a2 +b2 −4 = 0.

⇔ √

a2 +b2 −4 √

a2 +b2 −a = 0.

⇔

" √

a2 +b2 = 4 √

a2 +b2 = a (vô lý).

Vậy P = a2 +b2 = 16.

Lời giải tham khảo đềthi tuyển sinh 10 chuyên toán TPHCM 2023 3

Bài 2

a) Giải phương trình: x = 5 x−1 +2√x−2.

b) Giải hệphương trình:

 



9y+49

x+y +x+y = 23,

x√x+y√y = 7 √x+√y .

Lời giải.

a) Giải phương trình

x = 5 x−1 +2 √

x−2.

Điều kiện xác định :

 

 x ̸= 1

x ⩾2.

Ta có

x = 5 x−1 +2√x−2

⇔x(x−1) = 5+2(x−1)√x−2.

⇔x2 −x−2(x−1)√x−2 = 5.

⇔(x−1)2 −2(x−1)√x−2+x−2 = 4.

⇔(x−1−√x−2)2 = 4.

⇔

" x−1−√x−2 = 2 x−1−√x−2 = −2.

⇔

" x−3 = √x−2 (x ⩾3) x+1 = √x−2 (x ⩾1).

⇔

" x2 −7x+11 = 0 x2 +x+3 = 0 (vô lý vì) > 0.

⇔



 x = 7+ √

5 2 (nhận)

x = 7− √

5 2 (loại).

Vậy S =

( 7+ √

5 2

)

.

4

b) Giải hệphương trình

 



9y+49

x+y +x+y = 23, (1)

x√x+y√y = 7 √x+√y (2).

Điều kiện xác định:

   

  

x+y ̸= 0,

x ⩾0,

y ⩾0.

Từ(2), ta có

x√x+y√y = 7 √x+√y .

⇔ √x+√y x−√xy+y = 7 √x+√y .

⇔x−√xy+y = 7 (Do x+y ̸= 0 và x, y ⩾0 nên √x+√y ̸= 0).

Từ(1), ta có 9y+49

x+y +x+y = 23.

⇔9y+49+(x+y)2 = 23(x+y).

⇔(x+y−7)2 = 9x.

⇔xy = 9x.

⇔x = 0 hay y = 9.

Với x = 0 ⇒y = 7 (nhận).

Với y = 9 ⇒x = 1 hay x = 4 (nhận).

Vậy (x,y) ∈{(0, 7), (1, 9), (1, 4)}.

Bài 3

Cho tam giác ABC vuông tại A(AB < AC), có đường cao AH. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. Gọi J là giao điểm của AI và DE;K là trung điểm của AB.

a) Chứng minh tứgiác BIJD nội tiếp.

b) Gọi M là giao điểm của KI và AC,N là giao điểm của AH và ED.

c) Gọi Q là giao điểm của DI và EF, P là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A,P,Q thẳng hàng.