Đề thi vào môn Toán năm 2023 2024 trường chuyên Phan Bội Châu Nghệ An

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

Câu 1

a) Giải phương trình x4 −4x3 + 6x2 −4x −3 = 0.

b) Giải hệphương trình 2x −√x + y = p

2y −x2 + 2x (2 −√x + y) √

x2 + 4 = 2 √

3x .

Lời giải.

a) Ta biến đổi phương trình như sau

x4 −4x3 + 6x2 −4x −3 = 0 ⇔ x2 −2x −1 x2 −2x + 3 = 0 ⇔x2 −2x −1 = 0 (vì x2 −2x + 3 = (x −1)2 + 2 > 2 > 0)

⇔x ∈{1 + √

2, 1 − √

2}.

Như vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1 + √

2, 1 − √

2}.

b) Điều kiện xác định: x + y ⩾0, 2y −x2 + 2x ⩾0. Trước hết ta có biến đổi sau.

2x −√x + y = p

2y −x2 + 2x ⇔(2x −√x + y)2 = 2y −x2 + 2x ⇔4x2 −4x√x + y + x + y = 2y −x2 + 2x ⇔5x2 −4x√x + y −(x + y) = 0 ⇔5x(x −√x + y) + √x + y(x −√x + y) = 0

⇔ x −√x + y 5x + √x + y = 0.

Lúc này, ta xét hai trường hợp sau.

† Trường hợp 1. x −√x + y = 0 suy ra x = √x + y(x ⩾0). Thay vào phương trình thứhai của hệ, ta được

(2 −x) √

x2 + 4 = 2 √

3x ⇔(2 −x)2(x2 + 4) = 12x2

⇔(x2 −4x + 4)(x2 + 4) = 12x2

⇔x4 + 4x2 −4x3 −16x + 4x2 + 16 = 12x2

⇔x4 −4x3 −4x2 −16x + 16 = 0 ⇔(x2 + 2x + 2)(x2 −6x + 4) = 0 ⇔x2 −6x + 4 = 0(vì x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 1 > 0)

⇔x ∈{3 − √

5, 3 + √

5}.

Đểý điều kiện 0 ⩽x ⩽2 nên x = 3 + √

5 loại suy ra x = 3 − √

5. Khi đó, thay vào biểu thức ta được 3 − √

5 = p

3 − √

5 + y suy ra y = 11 −5 √

5. Thửlại, ta thấy nghiệm trên thỏa mãn.

† Trường hợp 2. 5x + √x + y = 0 suy ra √x + y = −5x(x ⩽0) Thay vào phương trình đầu của hệ, ta có

7x = p

2y −x2 + 2x.

Từđây kết hợp x ⩽0 suy ra x = y = 0. Thửlại. ta thấy nghiệm trên không thỏa.

Như vậy, tất cảcác nghiệm của hệphương trình là (x, y) = {3 − √

5, 11 −5 √

5}.

∇

2

NGUYỄN NHẤT HUY −VÕ TRỌNG KHẢI

Câu 2

a) Tìm x ∈R sao cho x + √

2024 và 1

x − √

2024 đều là các sốnguyên.

b) Tìm sốnguyên dương a nhỏnhất sao cho 2a là sốlập phương và 5a là sốchính phương.

Lời giải.

a) Theo giảthiết ta có the đặt như sau x + √

2024 = a, 1

x − √

2024 = b thì a, b ∈Z.

Bằng các phép biến đổi ta được

(a − √

2024)(b + √

2024) = 1 ⇔ √

2024(a −b) = 2025 −ab.

Vì √

2024 vô tỷvà a −b, 2025 −ab nguyên nên a = b và 2025 = ab suy ra a = b = ±45. Khi đó bằng phép thếta được

x + √

2024 = a = ±45 ⇔x ∈{45 − √

2024, −45 − √

2024}.

Vậy tất cảgiá trịx thỏa mãn là x ∈{45 − √

2024, −45 − √

2024}.

b) Theo giảthiết 2a = b3 (1) và 5a = c2 (2) với b, c là các sốnguyên dương. Từ(1) suy ra b3 chia hết cho 2, mà 2 là sốnguyên tốnên b chia hết cho 2. Đặt b = 2d, thay vào (1) được 2a = 8d3, hay là a = 4d3 (3). Từ(2) suy ra c2 chia hết cho 5 , mà 5 là sốnguyên tốnên c chia hết cho 5. Đặt c = 5e, thay vào (2) được 5a = 25e2, hay là a = 5e2 (4). Từ(3) và (4) có a = 4d3 = 5e2 (5) với d, e là các sốnguyên dương. Do 4 và 5 là hai số nguyên tốcùng nhau nên từ(5) thì d3 chia hết cho 5, suy ra d chia hết cho 5. Đặt d = 5k, thay vào (5) được a = 5e2 = 500k3 với k là sốnguyên dương. Từđó e2 = 100k3 = 102k3. Điều này xảy ra với sốk nhỏnhất là k = 1, e = 10 và a = 500. Lúc đó 2a = 1000 = 103 và 5a = 2500 = 502 thỏa mãn bài toán. Vậy sốnguyên dương a nhỏnhất thỏa mãn là a = 500.

∇

!

Bài toán sốhọc ởcâu b là bài toán không mới cũng như không quá khó nhưng lạcác bạn có thểtham khảo bài toán tương tựnhư sau. Tìm sốnguyên dương a nhỏnhất sao cho 2a là sốchính phương và 3a là sốlập phương.

Tạp chí toán học tuổi trẻsố505

3