Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2021 2022 sở GD ĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2021 - 2022

Khóa ngày 08/6/2021 Môn: TOÁN (CHUYÊN) SBD:………….. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề có 01 trang gồm 5 câu

Câu 1 (2,0 điểm).

Cho biểu thức 1 1 8 3 1 : 1 1 1 1 1 x x x x x P x x x x x

                     

(với 0, 1 x x  ).

a) Rút gọn biểu thức . P

b) Tìm tất cả các số thực x để P nhận giá trị nguyên.

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho parabol 

2 : P y x  và đường thẳng

: 2 1 d y mx m    (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để  d cắt  P tại

hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 3. x x  

b) Giải phương trình 8 5 1 6 2 3 7 29. x x x    

Câu 3 (1,0 điểm).

Cho ba số thực   , , 5;7 . x y z  Chứng minh rằng

1 1 1 . xy yz zx x y z        

Câu 4 (1,5 điểm).

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho hai số 2 2 7 n n   và 2 2 12 n n   đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó.

Câu 5 (3,5 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O đường kính . AE Gọi D là một điểm

bất kì trên cung  BE không chứa điểm A (D khác B và E ). Gọi , , H I K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên các đường thẳng , BC CA và . AB

a) Chứng minh ba điểm , , H I K thẳng hàng.

b) Chứng minh AC AB BC DI DK DH   

c) Gọi P là trực tâm của , ABC  chứng minh đường thẳng HK đi qua trung điểm của đoạn thẳng . DP

...........................Hết.........................

HDC TOÁN CHUYÊN trang 1/5

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2021 - 2022

Khóa ngày 08/6/2021 Môn: TOÁN (CHUYÊN) (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)

Yêu cầu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận logic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước sau có liên quan. * Điểm thành phần của mỗi câu được phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm là 0,5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Đối với Câu 5, học sinh không vẽ hình thì cho điểm 0. Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì điểm 0 ở ý đó. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm từng câu. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung Điểm

1

Cho biểu thức 1 1 8 3 1 : 1 1 1 1 1 x x x x x P x x x x x

                     

(với 0, 1 x x  ). a) Rút gọn biểu thức . P b) Tìm tất cả các số thực x để P nhận giá trị nguyên.

2,0 điểm

a

Ta có:       

    

2 2 1 1 8 3 1 : 1 1 1 1

x x x x x x P

x x x x

       

   

0,5

  

   1 1 4 4 . 4 4 1 1

x x x x x x x x

         

Vậy 4 . 4 x P x  

0,5

b Vì 0, 1 x x   nên 4 0. 4 x P x    0,25

HDC TOÁN CHUYÊN trang 2/5

Câu Nội dung Điểm

Ta có:  

2 2 4 4 4 1 1 0 4 4 4

x x x x P x x x

           suy ra 1. P  0,25

Do đó 0 1 P   mà 𝑃∈𝑍 nên 0 P  hoặc 1. P  0,25 Với 0 P  thì 0 x  (thỏa mãn).

Với 1 P  thì 2 0 4 x x     (thỏa mãn). Vậy 0; 4 x x   thì P nhận giá trị nguyên.

0,25

2

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol 

2 : P y x  và đường

thẳng : 2 1 d y mx m    (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị

của m để  d cắt  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 , x x thỏa

mãn 1 2 3. x x  

b) Giải phương trình: 8 5 1 6 2 3 7 29. x x x    

2,0 điểm

a

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và : P

 2 2 2 1 2 1 0 1 x mx m x mx m      

Ta thấy

2 2 1 3 ' 1 0 2 4 m m m            

, với mọi . m

Suy ra phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt với mọi . m

Do đó đường thẳng  d cắt  P tại hai điểm phân biệt với mọi . m

0,25

Ta có 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình  1

Áp dụng định lí Vi-ét ta được

1 2

1 2

2

1

x x m

x x m

       …