Đề tuyển sinh môn Toán (hệ chuyên) năm 2021 2022 sở GD ĐT Quảng Ngãi

SỞ GIÁO GIỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2020-2021

ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày : 04/6/2021

Môn : Toán chuyên

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. ( 1,5 điểm )

1. Rút gọn biểu thức   2

1 1 : 0; 1 a A a a a a a a a a       

2. Cho hàm số   2 2 y m x    ( m là tham số ) có đồ thị là đường thẳng (d).

a) Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến trên ℝ b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng 1.

Bài 2. ( 1,5 điểm )

1. Cho a là số nguyên lẻ và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2 2 2021 a  chia hết cho 24. 2. Cho các số nguyên tố p, q thỏa mãn 2 p q  là số chính phương. Chứng minh rằng : a) p = 2q + 1. b) 2 2021 p q  không phải là số chính phương.

Bài 3. ( 2,5 điểm ).

1. Giải hệ phương trình :

2 2

2 2 7 4 0

6 2 1

x xy y

x y y

         

2. Tìm tấu cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 5 2 2 0 x x m     có hai nghiệm dương phân

biệt 1 2 ; x x thỏa mãn 2 1 1 2 4 2 2 3 x x m x      .

3. Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau và thỏa mãn    4 c a c b    .Chứng minh rằng:

      2 2 2 1 1 1 1 a b c a c b      

.

Bài 4. ( 3,5 điểm)

Cho đường tron tâm O, bán kính R = 4cm và hai điểm B, C cố định trên (O), BC không là đường kính. Điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác ABC.

a) Chứng minh 𝐵𝐴𝐷 ෣= 𝐶𝐴𝑂 ෣. b) Gọi M là điểm đối xứng của A qua BC, N là điêm đối xứng của B qua AC. Chứng minh rằng :

CD.CN = CE.CM. c) Trong trường hợp 3 điểm C, M, N thẳng hàng, tính độ dài đoạn thẳng AB. d) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng AI cắt EF tại K. Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên

BC. CHứng minh rằng đường thẳng AH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.

Bài 5. ( 1 điểm )

Cho tập hợp S gồm n số nguyên dương đôi một khác nhau ( 3 n  ) thỏa mãn tính chất: tổng của 3 phần tử bất kì trong S đều là số nguyên tố. Tìm giá trị lớn nhất có thể của n.

ĐÁP ÁN

Bài 1. 1.1.

A = 1

aଶ−√a ∶ √a + 1

√a + a + a√a = √a൫1 + √a + a൯

൫√aସ−√a൯൫√a + 1൯

= √a൫1 + √a + a൯

√a൫√aଷ−1൯൫√a + 1൯

= a + √a + 1

൫√aଷ−1൯൫√a + 1൯

= a + √a + 1

൫√a −1൯൫a + √a + 1൯൫√a + 1൯= 1

൫√a −1൯൫√a + 1൯= 1 a −1

Vậy A =

ଵ

ୟିଵ 1.2. a) Hàm số đồng biển trên R ⇔m −2 > 0

⇔m > 2 b) Với m = 2, (d): y = 2 cách O một khoảng bằng 2, (không thỏa) Với m ≠2, gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) với trục hoành, trục tung. Hoàng độ của M là nghiệm của phương trình:

(m −2)x + 2 = 0 ⇔x = 2 2 −m

⇒OM = 2 |2 −m|

Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên ON = 2 Gọi OH là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d), áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông OMN ta có:

1 OHଶ= 1 OMଶ+ 1 ONଶ⇔ 1 OHଶ= (2 −m)ଶ

4 + 1

4

mà OH = 1 nên (ଶି୫)మ

ସ +

ଵ

ସ= 1 ⇔mଶ−4m + 5 = 4 ⇔(m −2)ଶ= 3

⇔[ m −2 = √3

m −2 = −√3 ⇔[m = 2 + √3

m = 2 −√3

0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Bài 2. 2.1. Vì a là số nguyên lẻ nên a = 2k + 1, k ∈ℤ. Từ đó aଶ= 4kଶ+ 4k + 1 ⇒aଶ−1 = 4k(k + 1) ⋮8 (1) vì k(k + 1) ⋮2 Mặt khác, a không chia hết cho 3 nên a = 3q ± 1, q ∈ℤ

aଶ= 9qଶ± 6k + 1 ⇒aଶ−1 ⋮3 (2) Từ (1) và (2), ta được aଶ−1 ⋮24 Từ đó: aଶ−2021ଶ= (aଶ−1) −(2021ଶ−1) = (aଶ−1) −2020.2022 = (aଶ−1) −2ଶ. 5.101.2.3.337 ⋮24 2.2. a) Đặt p + qଶ= nଶ, n ∈ℕ Suy ra p = (n −q)(n + q)

Vì p là số nguyên tố nên ൜n −q = 1

n + q = p. Do đó p = 2q + 1

b) Giả sử pଶ+ qଶ଴ଶଵ là số chính phương, đặt pଶ+ qଶ଴ଶଵ= mଶ Suy ra qଶ଴ଶଵ= (m −p)(m + p). Có 2 trường hợp: TH1:

0,25 điểm 0,25 điểm

D

O M

N