Đề thi vào 10 môn Toán (chuyên Toán) năm 2021 2022 trường chuyên Lam Sơn Thanh Hóa

1 / 7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN TỈNH THANH HOÁ Năm học: 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN (chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (2,0 điểm) a) Cho các số thực ,a b không âm thỏa mãn điều kiện ( 2)( 2) 8    a b . Tính giá trị của biểu thức:

   2 2 2 2 2 8 2 4 4        P ab a b a b .

b) Cho các số hữu tỉ , , a b cđôi một phân biệt. Đặt 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( )       B a b b c c a . Chứng minh

rằng B là số hữu tỉ. Bài 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:    2 2 2 3 2 9 18 168      x x x x x .

2) Giải hệ phương trình:

2 2

2

1 1 1 1

1 2 8 1

            

x y x y

x x y x y

.

Bài 3. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn 2 2 2 2 2 4 6 0       x y xy x y .

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho

2

1 2

  p p là lập phương của một số tự nhiên.

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho hai đường tròn ( ) O và    O cắt nhau tại hai điểm A và B . Tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm

O cắt đường tròn tâm  O tại ( )  P P A . Tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm  O cắt đường tròn tâm O tại ( )  Q Q A . Gọi I là điểm sao cho tứ giác  AOIO là hình bình hành và D đối xứng với A qua B . a) Chứng minh rằng I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A P Q. Từ đó suy ra tứ giác A D P Q nội tiếp?

b) Gọi M là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh    ADP QDM . c) Giả sử hai đường thẳng IB và PQ cắt nhau tại S . Gọi K là giao điểm của AD và PQ . Chứng

minh: 2 1 1   SK SP SQ .

Bài 5. (1,0 điểm) Cho bảng kẻ ô vuông kích thước 8 8  gồm có 64 ô vuông con (như hình vẽ bên). Người ta đặt 33 quân cờ vào các ô vuông con của bảng sao cho mỗi ô vuông con có không quá một quân cờ. Hai quân cờ được gọi là "chiếu nhau" nếu chúng nằm cùng một hàng hoặc nằm cùng một cột. Chứng minh rằng với mỗi cách đặt luôn tồn tại ít nhất 5 quân cờ đôi một không chiếu nhau.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

3 / 7

LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1. (2,0 điểm) a) Cho các số thực ,a b không âm thỏa mãn điều kiện ( 2)( 2) 8    a b . Tính giá trị của biểu thức:

   2 2 2 2 2 8 2 4 4        P ab a b a b

b) Cho các số hữu tỉ , , a b cđôi một phân biệt. Đặt 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( )       B a b b c c a . Chứng minh

rằng B là số hữu tỉ.

Bài giải a) Ta có: ( 2)( 2) 8 2 2 4        a b a b ab . Do đó:

      2 2 2 2

2 2

2 4 4 2 2 2 2 2

2( ) ( 2)( 2) 2( ) 8 4( ).

a b a ab a b b ab a b

a b a b a b a b

        

        

Suy ra:

   2 2 2 2 2 2

2 2

2 8 2 4 4 2 8 4( )

2 ( ) 8 4( ) 2 2 ( ) 2( ).

         

         

a b a b a b a b

a b a b ab a b a b

Khi đó: 2( ) 4     P ab a b . Vậy 4  P . b) Đặt , , , , 0         x a b y b c z c a x y z và 0    x y z . Ta có:

2 2

2 2 2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2

1 1 1 1 1 1

x y z B x y z x y z xy yz zx x y z xyz

x y z x y z

                                

           

Vì , , a b clà các số hữu tỷ nên , , x y z là các số hữu tỉ, do đó B là số hữu tỷ.

Bài 2. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:    2 2 2 3 2 9 18 168      x x x x x .

2) Giải hệ phương trình:

2 2

2

1 1 1 1

1 2 8 1

            

x y x y

x x y x y

.

Bài giải a) Do 0 x  không là nghiệm của phương trình nên phương trình đã cho tương đương: