Đề tuyển sinh chuyên môn Toán năm 2021 trường ĐHSP Hà Nội

Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM HÀ NỘI

Đề thi gồm 01 trang

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2021 – 2022

MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 17/06/2021

Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho:

2 ( ) : b a a a b b b a ab P a b b a a b

                    

với ( 0; a  0 b  ;a b  )

a) Rút gọn P .

b) Chứng minh rằng 0 P  .

Lời giải

a) Rút gọn P .

 

2

: b a ab b a a a b b P a b b a a b

                    

  0, 0, a b a b   

        

2 : b a b a a b a ab b b ab a ab P b a a b a b a b

                            

: a ab b b ab a P b a a b a b

                    

  2 : a ab b a ab b b ab a P a b a b

                      

. ab a b P a b a ab b     

ab P a ab b   

.

Vậy ab P a ab b   

.

b) Chứng minh rằng 0 P  .

Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 2

Ta có: 0, 0, 0 a b a b ab     

 

2 a ab b a b ab     

Ta có:

   

2

2 0 0, 0, 0 0 0

ab a b a b a b ab a ab b a b

                 

0 ab a ab b    

Vậy 0 P  (đpcm).

Câu 2. (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m , ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

2 2 (2 1) 3 0 x m x m     ; 2 4 11 0 x mx m     .

2) Với , , a b c là các số thực đương thỏa mãn điều kiện   2 9 a b c ab bc ca      .

b) Một tấm biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm O , bán kính bằng 1,6 m. Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn

tâm O bán kính bằng 1,6 m sao cho  45 BOC   (hình bên). Người ta cần sơn màu toàn bộ tấm biển quảng cáo và chỉ sơn một mặt như ở hình bên. Biết mức chi phí sơn phần hình tô đậm là

150 nghìn đồng/ 2 m và phần còn lại là 200 nghìn đồng/ 2 m . Hỏi số tiền (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng) để sơn toàn bộ biển quảng cáo bằng bao nhiêu? Cho 3,14  .

Lời giải

a) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m , ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

2 2 (2 1) 3 0 x m x m     ; 2 4 11 0 x mx m     .

Xét phương trình    2 2 2 1 3 0 1 x m x m    

Ta có     2 2 2 2 2 1 4 3 4 4 1 4 12 4 11 m m m m m m           .

+ Trường hợp 1: 11 0 4 11 0 4 m m       .

Khi đó phương trình (1) có nghiệm.

+ Trường hợp 2: 11 0 4 11 0 4 m m      .

Xét phương trình  2 4 11 0 2 x mx m    

Ta có   . 1. 4 11 4 11 0 a c m m      .

Suy ra phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt.

D

A B

O

C

Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 3

Như vậy, với mọi giá trị của m , ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

  2 2 2 1 3 0 x m x m     ; 2 4 11 0 x mx m     .

b) Tính số tiền sơn biển quảng cáo.

Diện tích hình quạt BOC là:   2 2 2 45 3,14.1,6 . 1,0048 m 360 360 n R       

.

Diện tích BOC  là:    2 1 1 1 . . .sin .1,6.1,6.sin 45 0,905 m 2 2 2 OB CH OB OC BOC   

Diện tích phần còn lại (không tô màu) là     2 2. 1,0048 0,905 0,1996 m  

Diện tích hình tròn tâm O là:   2 2 2 3,14.1,6 8,0384 m R   

Diện tích phần tô màu là:   2 8,0384 0,1996 7,8388 m  

Số tiền sơn là: 7,8388.150 0,1996.200 1215,74 1216    (nghìn đồng).

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho ba điểm A , B ,C cố định sao cho A , B , C thẳng hàng, B nằm giữa A và C . Gọi  d là

đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB . Lấy điểm M tùy ý trên  d . Đường thẳng đi qua B và

vuông góc với AM cắt các đường thẳng AM ,  d lần lượt tại I , N . Đường thẳng MB cắt AN tại

K .

a) Chứng minh rằng tứ giác MIKN nội tiếp.

b) Chứng minh rằng . . CM CN AC BC 