Đề tuyển sinh chuyên môn Toán (chuyên) năm 2021 trường ĐHSP Hà Nội

Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 2

LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI

Tập Thể Giáo Viên Nhóm Toán “Tiểu Học – THCS – THPT VIỆT NAM”

Tạ Thị Huyền Trang Nguyễn Trí Chính Hoàng Dương

Thắng Vũ Phạm Thụ Trần Lệnh Ánh

Phạm Thu Hà Việt Dũng Lê Hợp

Nguyễn Lan Anh Phạm Văn Tuân Lê Hường

Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Võ Quang Mẫn Trần Hùng Quân

Lê Quỳnh Trang Lê Minh Đức Lê Thị Hoàng Hạnh

Bùi Quốc Trọng Phạm Duy Nguyên Nguyễn Hưng

Nguyễn Minh Toàn

Bài 1. (2,5 điểm)

Cho 1 5 2 a + =

a) Tìm một đa thức bậc hai ( ) Q x với hệ số nguyên sao cho α là nghiệm của ( ) Q x

b) Cho đa thức: 5 4 ( ) 1 P x x x x = − − + . Tính giá trị của ( ) P α

Lời giải

a).Tìm một đa thức bậc hai ( ) Q x với hệ số nguyên sao cho α là nghiệm của ( ) Q x

Cách 1:

Có 2 2 1 5 2 1 5 4 4 4 0 1 0 2 α α α α α α + = ⇔ −= ⇒ − − = ⇔ − −= .

Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 3

Phương trình 2 1 0 x x − −= có hệ số nguyên và có 2 nghiệm 1 5 2 α + = , 1 5 2 β − = .

Vậy ( ) 2 1 Q x x x = − − thỏa yêu cầu bài.

Cách 2:

Có 1 5 2 α + = , đặt 1 5 2 β − =

Ta có 1 . 1 α β α β + =   = − 

Phương trình có hệ số nguyên nhận α , β làm nghiệm là 2 1 0 x x − −=

Vậy ( ) 2 1 Q x x x = − − thỏa yêu cầu bài.

b) 5 4 5 4 3 3 ( ) 1 1 P x x x x x x x x x = − − + = − − + − +

( ) 3 2 3 2 2 ( ) 1 1 P x x x x x x x x = − − + − − + +

2 3 2 ( ) ( 1)( ) 1 P x x x x x x = − − + + +

2 3 2 ( ) ( 1)( ) 1 P α α α α α α = − − + + + .

2 ( ) 0 1 P α α = + + (Do α là nghiệm của phương trình: 2 1 x x − −).

Mà 2 1 2 α α + = + nên

2 1 5 5 5 ( ) 1 2 2 2 2 P α α α + + = + = + = + = .

Vậy 5 5 ( ) 2 P α + = .

Bài 2. (3,0 điểm)

Cho , A B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâm O , bán kính R . Giả sử C là điểm cố

định trên tia đối của tia BA . Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn ( ) O tại D và E (

D nằm giữa , C E ). Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao

điểm thứ hai M . Biết rằng bốn điểm , , , O B M E tạo thành tứ giác OBME .

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác OBME nội tiếp.

b) 2 2 . CD CE CO R = − .

c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định.

Lời giải

Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 4

a) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp.

      ( ) 2 2 2 2 EOB BAE BDC BMC EMC EMB = = = = −

  ( ) 2 180 EAB EMB = ° − −

  360 2 EOB EMB = ° − −

suy ra   180 EOB EMB + = ° hay tứ giác OBME nội tiếp.

b) Chứng minh 2 2 . CD CE CO R = − .

Cách 1.

Kẻ CF là tiếp tuyến của ( ) O , suy ra 2 2 2 2 2 CF OF CF CO OF CO R ⊥ ⇒ = − = − (1)

Mặt khác: CDF CFE ∆ ∆ ∽ (g.g)

2 . CD CF CF CD CE CF CE ⇒ = ⇒ = (2)

Từ (1) và (2) ta có 2 2 . CD CE CO R = − .

Cách 2.

Gọi T là trung điểm DE .

Có ( )( ) . , CD CE CT TD CT TE TD TE = − + =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 CT TD CO OT TD CO OD CO R = − = − − = − = −

T

F

M D

O

B

A C

E

Sản phẩm của: “Nhóm Toán Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM”

NHÓM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 5

c) Chứng minh M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định.

     90 OMC OMB BMC OEB EAB = + = + = ° hay M luôn di chuyển trên đường tròn đường kính OC cố định.

Bài 3. (2,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên dương N sao cho N có thể biểu diễn một cách duy nhất ở dạng

2 1 1 x y xy + + với ,x y là hai số nguyên dương.

Lời giải

( ) ( )

2 2 0 1 1 x y N x Nxy N y x Ny x y N xy + = ⇔ − − + = ⇔ − = − +

Với 1 N = dễ thấy có vô số cách biểu diễn N theo ,x y

là các bộ số dạng ( ) ( ) ( ) * , , 1 x y a a a = + ∈

Với 2 N ≥

Nếu 2 y N x N = ⇒ =

Nếu y N ≠ thì ( )1 y N x y N x ⇒ − ⇒ − ≥ 

suy ra trong hai số ;y N có ít nhất một số lớn hơn x

0 0 Ny x y N y N y x ⇒ − > ⇒ − > ⇒ > ⇒ >

Từ ( ) ( ) 1 2 0 y N Ny x y N Ny x y x y y x y N ⇒ − − ⇒ − ≥ − ≥ − ≥ + − ≥ ⇒ ≤  ( loại)

Vậy với 2 N ≥ thì ta có một biểu diễn duy nhất ở dạng

2

1 x y xy + +

Cách khác.

+) 1 N = có vô số bộ ( ) ;x y có dạng ( ) ( ) ; 1 k k k N + ∈ thỏa mãn

2

1 x y N xy + = …