Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên Toán) năm 2021 2022 sở GD ĐT Hà Nội

Giải đềthi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên SởGD TP Hà Nội CLB Toán Lim

Giải chi tiết đềthi tuyển sinh vào 10 chuyên Toán

SởGiáo Dục Hà Nội

Nguyễn Duy Khương - Hà Huy Khôi - Trần Quang Độ- Nguyễn Đức Toàn - Nguyễn

Văn Hoàng

1 Câu 1

1. Giải phương trình x2 + x+2−2 p

x+1 = 0

2. Cho ba sốthực a,b và c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh:

a−b 1+ c2 + b −c

1+ a2 + c −a

1+ b2 = 0

Lời giải

1) Ta có:

x2 + x+2−2 p

x+1 = 0

⇔x2 + p

x+1 2 −2 p

x+1+1 = 0

⇔x2 +( p

x+1−1)2 = 0

⇔

  

 

x = 0 p

x+1 = 1

⇔x = 0

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất thỏa mãn đềbài

2) Ta có:

1+ a2 = ab + bc + ca+ a2 = b(a+ c)+ a(a+ c) = (a+ b)(a+ c)

Làm tương tựthì ta cũng có:

1+ b2 = (b + a)(b + c)

1+ c2 = (c + a)(c + b)

1 13/6/2021

Giải đềthi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên SởGD TP Hà Nội CLB Toán Lim

Áp dụng vào ta được:

a−b 1+ c2 + b −c

1+ a2 + c −a

1+ b2 = a−b (c + a)(c + b) + b −c (a+ b)(a+ c) + c −a (b + a)(b + c)

= (a2 −b2)+(b2 −c2)+(c2 −a2)

(a+ b)(b + c)(c + a)

= 0

2 Câu 2

1. Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x, y) thỏa mãn x2 +5xy+6y2 + x+2y−2 = 0

2. Chứng minh rằng với mỗi sốnguyên n, sốn2+n+16 không chia hết cho

49

Lời giải

1. Xét phương trình:

x2 +5xy+6y2 + x+2y−2 = 0

⇔(x+2y)(x+3y)+(x+2y) = 2

⇔(x+2y)(x+3y+1) = 2

Ta có bảng các trường hợp như sau:

x+2y 1 2 -1 -2

x+3y+1 2 1 -2 -1

x 1 6 3 -2

y 0 -2 -2 0

Vậy các cặp (x, y) thỏa mãn là:

(1;0);(6;−2);(3;−2);(−2;0)

2. Gỉa sử∃n ∈Z sao cho:

n2 + n+16 ... 49

⇒4n2 +4n+64 ... 49

⇒(2n+1)2 +63 ... 49 (1)

⇒(2n+1)2 +63 ... 7

2 13/6/2021

Giải đềthi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên SởGD TP Hà Nội CLB Toán Lim

Mà 63 ... 7 nên ⇒(2n+1)2 ... 7 ⇒2n+1 ... 7 ⇒(2n+1)2 ... 49 (2)

Từ(1) và (2) suy ra 63 ... 49 (Vô lý). Vậy giảsửsai hay ∀n ∈Z thì n2 + n +16

không chia hết cho 49.

3 Câu 3

1. Cho sốthực x khác 0 thỏa mãn x+ 2

x và x3 đều là sốhữu tỉ. Chứng minh

x là sốhữu tỉ.

2. Cho các sốthực không âm a,b và c thỏa mãn a+ b + c = 5. Chứng minh:

2a+2ab + abc ≤18

Lời giải.

1. Theo giảthiết, ta có x+ 2

x và x3 đều là sốhữu tỉ(x khác 0).

Đặt x+ 2

x = m (m ∈Q). Suy ra

m = x2 +2

x ⇒x2 +2 = mx

Tương tự, ta cũng có x3 = n (n ∈Q). Suy ra

x4 = x3 · x = nx

Mặt khác P = x3 · µ x+ 2

x

¶ = x4 + 2x2 là sốhữu tỉ. Suy ra x4 + 2x2 + 4 là số

hữu tỉ. Ta có:

x4 +2x2 +4 = nx+2(x2 +2) = nx+2mx = (n+2m)x

Mà (n+2m) là sốhữu tỉvà x4 +2x2 +4 > 0 nên n+2m khác 0. Nên x phải

là sốhữu tỉ.

(Nếu x vô tỉthì x4 +2x2 +4 là sốvô tỉ, vô lý).

Ta có điều phải chứng minh.

2. Theo giảthiết ta có a,b, c không âm và a+ b + c = 5.

Ta dễcó (x+ y)2 −4xy = (x−y)2 ≥0. Suy ra xy ≤(x+ y)2

4 với mọi x, y ∈R.

3 13/6/2021

Giải đềthi Toán chuyên vào 10 THPT Chuyên SởGD TP Hà Nội CLB Toán Lim

Áp dụng bất đẳng thức này, ta đượ:

2a+2ab + abc = a(2+ b(2+ c))

≤a µ 2+ (b + c +2)2

4

¶

= (5−b −c) µ 2+ (b + c +2)2

4

¶

Đặt t = b + c (t ≥0). Ta cần chứng minh:

(5−t) µ 2+ (t+2)2

4

¶ ≤18

Thật vậy, bất đẳng thức này tương đương với

(t−5) µ 2+ (t+2)2

4

¶ +18 ≥0

Hay,

(t−2)2(t+3) ≥0

Bất đẳng thức này đúng do (t ≥0). Suy ra

2a+2ab + abc ≤(5−t) µ 2+ (t+2)2

4

¶ ≤18

Dấu bằng xảy ra khi t = 2,a = 3,b = 2 và c = 0.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

4 Câu 4

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có ∠BAC = 60o và AB < AC.

Các đường thẳng BO,CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC, AB tại M,N. Gọi F

là điểm chính giữa cung BC lớn.

1. Chứng minh năm điểm A,N,O,M và F cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi P,Q lần lượt là các giao điểm thứhai của hai tia FN,FM với đường

tròn (O).Gọi J là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ.

Chứng minh tia AJ là tia phân giác góc ∠BAC.

3. Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF. Chứng

minh AB vuông góc với AK.

4 13/6/2021