Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên Tin) năm 2021 2022 sở GD ĐT Hà Nội

Giải đềthi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên SởGD TP Hà Nội CLB Toán Lim

Lời giải chi tiết đềthi chuyên Toán -Tin

TP. Hà Nội

Nguyễn Khang - Nguyễn Văn Hoàng - Đoàn Phương Khang

1 Câu I

1) Giải phương trình p

4+2x−x2 = x−2.

2) Giải hệphương trình  

 x3 +2 = 3y

y3 +2 = 3x

Lời giải.

1) Điều kiện xác định 4 + 2x −x2 ≥0. Do V T ≥0 ⇒V P ≥0 ⇒x ≥2. Bình

phương hai vế, phương trình tương đương với

4+2x−x2 = (x−2)2

⇔4+2x−x2 = x2 −4x+4

⇔2x2 −6x = 0

⇔x = 0(l)hoặcx = 3(n)

2) Lấy phương trình trên trừphương trình dưới thu được

(x−y)(x2 + xy+ y2) = 3(y−x)

⇔(x−y) £ (x2 + xy+ y2)+3 ¤ = 0.

Dễthấy biểu thức trong ngoặc vuông vô nghiệm. Do đó x = y. Thay vào

phương trình (2), ta có:

y3 +2 = 3y ⇔(y+2)(y−1)2 = 0.

Từđó x = y = 1 hoặc x = y = −2. Kết luận (x, y) = (1,1);(−2;−2).

1 14/6/2021

Giải đềthi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên SởGD TP Hà Nội CLB Toán Lim

2 Câu II

1) Chứng minh với mỗi sốnguyên n, sốn2 +3n+16 không chia hết cho 25.

2) Tìm tất cảcác sốnguyên x và y thỏa mãn x2 −xy−2y2 + x+ y−5 = 0

Lời giải.

1) Đặt A = n2 +3n+16 = (n2 +3n−4)+20 = (n+4)(n−1)+20

GiảsửA chia hết cho 25 ⇒A chia hết cho 5, mà 20 chia hết cho 5

⇒(n+4)(n−1) ... 5 ⇒n+4 ... 5 hoặc n−1 ... 5 (do 5 là sốnguyên tố)

Mà (n+4)−(n−1) = 5 ... 5

⇒n+4 ... 5 và n−1 ... 5 ⇒(n+4)(n−1) ... 25 . Mà A ... 25

⇒20...25 (vô lý)

Vậy A không chia hết cho 25.

2) Ta có :

x2 −xy−2y2 + x+ y−5 = 0

⇔(x+ y)(x−2y)+(x+ y) = 5

⇔(x+ y)(x−2y+1) = 5

Mà x+ y,x−2y+1 ∈Z suy ra các trường hợp.

• Trường hợp 1:

x+ y = 5;x−2y+1 = 1 ⇔x+ y = 5;x−2y = 0

⇔x = 10

3 ; y = 5

3(loại)

• Trường hợp 2:

x+ y = 1;x−2y+1 = 5 ⇔x+ y = 1;x−2y = 4

⇔x = 2; y = −1(thỏa mãn)

• Trường hợp 3:

x+ y = −1;x−2y+1 = −5 ⇔x+ y = −1;x−2y = −6

⇔x = −8

3 ; y = 5

3 (loại)

2 14/6/2021

Giải đềthi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên SởGD TP Hà Nội CLB Toán Lim

• Trường hợp 4:

x+ y = −5;x−2y+1 = −1 ⇔x+ y = −5;x−2y = −2

⇔x = −4; y = −1(thỏa mãn)

Vậy (x; y) ∈ n (2;−1),(−4;−1) o .

3 Câu III

1) Cho a,b và c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng

(a+ b)(b + c) (a−b)(b −c) + (b + c)(c + a)

(b −c)(c −a) + (c + a)(a+ b)

(c −a)(a−b) = −1.

2) Cho biểu thức

P = a p

1+2bc + b p

1+2ca + c p

1+2ab với a,b, c không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trịlớn nhất của

biểu thức P.

Lời giải.

1) Đểcho tiện, ta ký hiệu P

cyc f (a,b, c) = f (a,b, c)+ f (b, c,a)+ f (c,a,b). Gọi biểu

thức bên vếtrái là P. Ta có

P =

X

cyc (c −a)(a+ b)(b + c)

(a−b)(b −c)(c −a) = A

B

Ta có

A = X

cyc (c −a)(a+ b)(b + c) = X

cyc

£ ac2 + b2c + bc2 −a2b −a2c −ab2¤

= a2b −a2c −ab2 + ac2 + b2c −bc2

= ab(a−b)+ bc(b −c)+ ca(c −a)

= ab(a−b)−bc(a−b)+ ca(c −a)−bc(c −a)

= (a−b)b(a−c)−c(a−c)(a−b)

= (a−b)(b −c)(a−c).

Từđó P = A

B = (a−b)(b −c)(a−c)

(a−b)(b −c)(c −a) = −1.

3 14/6/2021

Giải đềthi Toán (Tin) vào 10 THPT Chuyên SởGD TP Hà Nội CLB Toán Lim

2) Đểý:

1+2bc = a2 + b2 + c2 +2bc = a2 +(b + c)2 ≥(a+ b + c)2

2 .

Do đó

V T = a p

a2 +(b + c)2 ≤ X

cyc

p

2a a+ b + c = p

2.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 p

2 , c = 0 và các hoán vị.

Nhận xét. Thực ra ởcâu III.1, nếu ta cộng 1 vào từng phân sốởvếtrái rồi

biến đổi thì sẽđơn giản hơn. Nhưng đôi khi cách “trâu” cũng tốt.

4 Câu IV

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Gọi I là tâm đương

tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm

thứhai M (M khác A). Gọi D,E và F lần lượt là các hình chiếu của điểm I

trên các đường thẳng BC,CA và AB.

1) Chứng minh tam giác MBI là tam giác cân.

2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ

hai P (P khác A). Chứng minh P,M và D là 3 điểm thẳng hàng.

3) Gọi H là giao điểm của đường thẳng IP và đường thẳng EF. Chứng

minh HD song song với AM.

Lời giải:

4 14/6/2021