Đề tuyển sinh vào môn Toán (chuyên) năm 2021 2022 sở GD ĐT Đắk Lắk

Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐĂK LĂK

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN-CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.

Câu 1 (2,0 điểm)

Cho phương trình 𝑥4 −(𝑚+ 2)𝑥2 + 3𝑚−3 = 0 với 𝑚 là tham số. Tìm tất cả các giá trị của 𝑚 để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 sao cho 𝑥1

2 + 𝑥2

2 + 𝑥3

2 + 𝑥4

2 −2𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: 2022√2022𝑥−2021 + √2023𝑥−2022 = 2023.

2) Giải hệ phương trình: { 𝑥3 −6𝑥𝑦−𝑦3 = 8

√2𝑥+ 𝑦+ 3 + √5𝑥−𝑦+ 3 = −𝑥2 −𝑦+ 5.

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số tự nhiên 𝑛 và 𝑘 để 𝑛4 + 42𝑘+1 là số nguyên tố. 2) Tìm tất cả các số nguyên dương 𝑥, 𝑦 thỏa mãn 𝑥4 −𝑥2 + 2𝑥2𝑦−2𝑥𝑦+ 2𝑦2 −2𝑦−36 = 0.

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho ba số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa mãn 𝑎+ 𝑏+ 𝑐≤2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

𝑃= 𝑏(𝑎2 + 1)2

𝑎2(𝑏2 + 1) + 𝑐(𝑏2 + 1)2

𝑏2(𝑐2 + 1) + 𝑎(𝑐2 + 1)2

𝑐2(𝑎2 + 1)

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho nửa đường tròn (𝑂; 𝑅) đường kính AB. Lấy điểm C tùy ý trên nửa đường tròn đó (C khác A và B). Gọi M,N lần lượt là điểm chính giữa cung AC và cung BC. Hai đường thẳng AC và BN cắt nhau tại D. Hai dây cung AN và BC cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác CDNH nội tiếp. 2) Gọi I là trung điểm DH. Chứng minh IN là tiếp tuyến của nửa đường tròn (𝑂; 𝑅). 3) Chứng minh rằng khi C di động trên nửa đường tròn (𝑂; 𝑅) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định 4) Trên nửa đường tròn (𝑂; 𝑅) không chứa C lấy một điểm P tùy ý (P khác A và B). Gọi Q,R,S lần lượt là hình

chiếu vuông góc của P trên AB,BC,CA. Tìm vị trí của P để tổng

𝐴𝐵 𝑃𝑄+

𝐵𝐶 𝑃𝑅+

𝐶𝐴 𝑃𝑆 đạt giá trị nhỏ nhất.

---------Hết---------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Nguyễn Nam - 11CT - THPT chuyên Nguyễn Du

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

Câu 1 (2,0 điểm)

Đặt 𝑡= 𝑥2 ≥0 thì phương trình 𝑥4 −(𝑚+ 2)𝑥2 + 3𝑚−3 = 0 có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 𝑡2 −(𝑚+ 2)𝑡+ 3𝑚−3 = 0 (·) có hai nghiệm 𝑡1, 𝑡2 > 0

Điều này tương đương với {

∆> 0 𝑆> 0 𝑃> 0

⇔I {

(𝑚+ 2)2 −4(3𝑚−3) > 0

𝑚+ 2 > 0 3𝑚−3 > 0

⇔𝑚> 1 𝑣à 𝑚≠4 (*)

Với điều kiện của 𝑚 như trên, phương trình (·) có hai nghiệm 𝑡1, 𝑡2 > 0. Giả sử rằng 𝑥1 = √𝑡1, 𝑥2 = −√𝑡1, 𝑥3 = √𝑡2, 𝑥4 = −√𝑡2. Khi đó

𝑆= 𝑥1

2 + 𝑥2

2 + 𝑥3

2 + 𝑥4

2 −2𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 = 2𝑡1

2 + 2𝑡2

2 −2𝑡1𝑡2 = 2(𝑡1 + 𝑡2)2 −6𝑡1𝑡2

Theo hệ thức Viet thì {𝑡1 + 𝑡2 = 𝑚+ 2

𝑡1𝑡2 = 3𝑚−3 nên 𝑆= 2(𝑚+ 2)2 −6(3𝑚−3) = 2 (𝑚−

5

2)

2

+

27

2 ≥

27

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝑚=

5

2 (thỏa mãn điều kiện (*))

Vậy, giá trị của 𝑚 để biểu thức 𝑆= 𝑥1

2 + 𝑥2

2 + 𝑥3

2 + 𝑥4

2 −2𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4 đạt giá trị nhỏ nhất là

27

2 khi 𝑚=

5

2

Câu 2 (2,0 điểm)

1) ĐKXĐ: 𝑥≥

2022

2023. Phương trình đã cho tương đương với

2022(√2022𝑥−2021 −1) + (√2023𝑥−2022 −1) = 0

⟺(𝑥−1). ( 2022.2022

√2022𝑥−2021 + 1

+ 1

√2023𝑥−2022 + 1

) = 0 ⟺𝑥= 1

Vậy: 𝑥= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

2) ĐKXĐ: 2𝑥+ 𝑦+ 3 ≥0; 5𝑥−𝑦+ 3 ≥0

Giả sử (𝑥; 𝑦) là một nghiệm của hệ phương trình { 𝑥3 −6𝑥𝑦−𝑦3 = 8 (1)

√2𝑥+ 𝑦+ 3 + √5𝑥−𝑦+ 3 = −𝑥2 −𝑦+ 5 (2)

𝑝𝑡(1) ⇔𝑥3 + (−𝑦)3 + (−2)3 −3. 𝑥. (−𝑦). (−2) = 0 ⟺(𝑥−𝑦−2) (1

2 (𝑥+ 𝑦)2 + 1

2 (𝑥+ 2)2 + 1

2 (𝑦−2)2) = 0

⟺𝑥= 𝑦+ 2 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥= −𝑦= −2 (𝐾ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎỏ𝑎 đ𝑘𝑥đ) Với 𝑥= 𝑦+ 2, thế vào pt(2) ta được

√3𝑦+ 7 −2 + √4𝑦+ 13 −3 = −𝑦2 −5𝑦−4 ⟺(𝑦+ 1) ( 3

√3𝑦+ 7 −2

+ 4

√4𝑦+ 13 + 3

+ 𝑦+ 4) = 0

Vì 𝑦+ 4 > 0 (đ𝑘 để 𝑐ă𝑛 𝑥á𝑐 đị𝑛ℎ) nên 𝑦= −1 ⇒𝑥= 1 Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (𝑥; 𝑦) = (1; −1)

Câu 3 (2,0 điểm)

1) Giả sử 𝑛, 𝑘 là hai số tự nhiên sao cho 𝑛4 + 42𝑘+1 = 𝑝 với p là số nguyên tố hay

𝑝= 𝑛4 + 2.22𝑘+1. 𝑛2 + (22𝑘+1)2 −(𝑛. 2𝑘+1)2 ⇔𝑝= (𝑛2 + 22𝑘+1)2 −(𝑛. 2𝑘+1)2

⇔𝑝= (𝑛2 + 22𝑘+1 −𝑛. 2𝑘+1)(𝑛2 + 22𝑘+1 + 𝑛. 2𝑘+1) Để 𝑝 là số nguyên tố thì ta phải có 𝑛2 + 22𝑘+1 −𝑛. 2𝑘+1 = 1 nên 1 ≥(√2 −1). 𝑛. 2𝑘+1 hay 𝑛. 2𝑘+1 ≤2 Từ 𝑘, 𝑛 là các số tự nhiên nên ta được n=1;k=0 lúc này 𝑛4 + 42𝑘+1 = 5 là số nguyên tố Vậy: (𝑘; 𝑛) = (0; 1) là tất cả bộ số cần tìm 2) Phương trình đã cho tương đương với (𝑥2 + 𝑦−1)2 + (𝑥−𝑦)2 = 37 = 62 + 12 = 12 + 62 Xét hai trường …