Đề tuyển sinh chuyên môn Toán năm 2021 2022 sở GD ĐT Quảng Trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa ngày 03 tháng 6 năm 2021

Môn thi: Toán (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm)

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:

2 8 5 18 4 32 A = − +

( ) . 1 2 1 a a B a a a − = − − +

, với 1 a > .

Câu 2. (1,5 điểm)

Cho hàm số ( ) 2 1 y m x = − . (1) 1. Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến khi 0 x > . 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 3 y x = −+ tại điểm có tung độ bằng 2? Câu 3. (1,5 điểm)

Cho phương trình (ẩn x) 2 2 2 1 0 x mx m − + −= 1. Giải phương trình khi 3 m = . 2. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x sao cho biểu thức ( ) ( )

1 2 2 2 1 2 1 2

4 1 2 2 x x A x x x x + = + + + đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4. (1 điểm)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 40 lần bắn là 8,25 điểm. Kết quả cụ thể được ghi lại trong bảng sau, trong đó có 2 ô bị mờ đi không đọc được (đánh dấu *):

Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 Số lần bắn 7 * 15 * Hãy tìm lại các số trong hai ô đó. Câu 5. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vuông góc với BC tại E. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. Đường thẳng BF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D, DE cắt AC tại H.

1. Chứng minh tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh   BCA BDA = . 3. Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng. 4. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H thẳng hàng. Câu 6. (0,5 điểm)

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 0 , , 1 x y z ≤ ≤. Chứng minh rằng ( ) 2 4 1 x y z xy yz zx xyz + + − + + + ≤. -----------------HẾT----------------- Họ và tên thí sinh:............................................................Số báo danh:........................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (2,0 điểm)

Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau:

2 8 5 18 4 32 A = − +

( ) . 1 2 1 a a B a a a − = − − +

, với 1 a > .

Lời giải:

Ta có: 2 8 5 18 4 32 4 2 15 2 16 2 5 2 A = − + = − + =

Với 1 a > , ta có: ( )

( )

( )

( )

2

2 2 ( 1) ( 1) . 1 . 1 2 1 1 1

a a a a a a B a a a a a a a

− − − − = − = − = = − − + − −

Vậy 5 2 A = và B a = − . Câu 2. (1,5 điểm)

Cho hàm số ( ) 2 1 y m x = − . (1) 1. Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến khi 0 x > . 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 3 y x = −+ tại điểm có tung độ bằng 2? Lời giải:

1. Điều kiện để hàm số (1) đồng biến khi 0 x > là 1 0 1 m m − > ⇔ < . Vậy để để hàm số (1) đồng biến khi 0 x > thì 1 m < . 2. Vì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 3 y x = −+ tại điểm có tung độ bằng 2 nên giao điểm đó có hoành độ x thỏa mãn: 2 3 1 x x = −+ ⇔ = . Thay 1, 2 x y = = vào (1) ta có: ( ) 2 2 1 .1 1 2 1 m m m = − ⇔− = ⇔ = −. Vậy để thỏa mãn điều kiện bài toán thì 1 m = −. Câu 3. (1,5 điểm)

Cho phương trình (ẩn x) 2 2 2 1 0 x mx m − + −= 1. Giải phương trình khi 3 m = . 2. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2 , x x sao cho biểu thức ( ) ( )

1 2 2 2 1 2 1 2

4 1 2 2 x x A x x x x + = + + + đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

1. Khi 3 m = , phương trình đã cho trở thành: 2 6 5 0 x x − + = . Vì 1 6 5 0 a b c + + = − + = nên phương trình có 2 nghiệm 1 1 x = và 2 5 x = . 2. Vì 1 2 2 1 0 a b c m m + + = − + −= nên phương trình có nghiệm 1 1 x = và 2 2 1 x m = − với mọi giá trị của m.

Ta có: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

4 1 4 1 4 2 1 1 8 2 2 2 4 4 1 4 2 1 1 4

x x x x m m m A x x x x m m x x m

+ + −+ = = = = = + + + + + + + −+ +

Lại có: ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 1 0, 2 1 , 1, 1 m m m m m m m m + ≥ ∀ ⇔ ≥− + ∀ ⇔ ≥−∀ +

1, A m ⇒ ≥−∀ , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 m = −. Suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi 1 m = −. Câu 4. (1 điểm)

Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 40 lần bắn là 8,25 điểm. Kết quả cụ thể được ghi lại trong bảng sau, trong đó có 2 ô bị mờ đi không đọc …