Đề tuyển sinh THPT chuyên môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Năm học 2020 – 2021

ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi Bài 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức 2 1 : 1 1 1 1

x x P x x x x x x

                                  

Rút gọn P . Tìm tất cả các giá trị của x để 1 . 7 P 

b) Cho phương trình ẩn x là  2 1 0 x px q    (với ;p q là các số nguyên tố). Tìm

tất cả các giá trị của p và q biết phương trình  1 có nghiệm là các số nguyên dương.

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình  

2 . 1 2 6 3 2 x x x x      

b) Giải hệ phương trình

2 2 2 2 . 3 1 2

x y xy

x y

      

Bài 3. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm cạnh BC. P là một điểm di động trên đoạn AM (P khác A và M). Đường tròn đi qua P, tiếp xúc với đường thẳng AB tại A, cắt đường thẳng BP tại K (K khác P). Đường tròn đi qua P, tiếp xúc với đường thẳng AC tại A, cắt đường thẳng CP tại L (L khác P).

a) Chứng minh 2 . . . BP BK CPCL BC   b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC luôn đi qua hai điểm cố định. c) Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC và E là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AC. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PLB và F là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AB. Chứng minh EF // IJ.

Bài 4. (1,0 điểm)

Cho ba số dương , , x y z thỏa mãn 5. xy yz zx    Chứng minh

  2 2 2 3 2 6

3 5 5 6 5

x y z

x y z      

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào? Bài 5. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên 2 2 2 5 4. x y xy x x    

b) Giả sử rằng A là tập hợp con của tập hợp   1; 2; 3;...; 1023 sao cho A không chứa

hai số nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi A có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?

----- Hết -----

Họ tên thí sinh:……………….………………...Số báo danh: ………….................................. Cán bộ coi thi 1:……….………...…..................Cán bộ coi thi 2:.....………..……..…….........

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

HẢI PHÒNG Năm học 2020 – 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài Đáp án Điểm

1 (2,0 điểm)

a) (1,0 điểm)

( )( )

2 1 1 : 1 1 1 1

x x x P x x x x

   + +   = −       + − + −    

ĐK: 0, 1 x x ≥ ≠ 0,25

( )( )

2 1 1 1 1 1

x x x P x x x x

− − + ⇔ = ⋅ + + + −

1 1 x P x x − ⇔ = + +

0,25

( ) 1 1 1 7 7 1 1 0 0 7 7 1

6 8 0

x P x x x do x x x x x

x x

− ≤− ⇔ ≤− ⇔ − ≤−− − + + > ∀≥ + +

⇔ − + ≤

0,25

( )( ) 2 4 0 2 4 4 16. x x x x ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 0,25

b) (1,0 điểm) Điều kiện để phương trình ( ) 1 có nghiệm là ( ) 2 4 0 * p q ∆= − ≥

Áp dụng định lý Vi-et ta có

1 2

1 2

x x p

x x q

+ =   = 

với 1 2 ; . x x + ∈ 0,25

Vì q là số nguyên tố nên 1 1 x = hoặc 2 1 x = 0,25 Nếu 1 1 x = thì 2 1 x p + = và 2x là các số nguyên tố liên tiếp, suy ra 2x là số nguyên tố chẵn

nên 2 2; 3 x q p = = = . Tương tự, nếu 2 1 x = thì 1 2; 3 x q p = = = 0,25

Ta thấy 2; 3 q p = = thỏa mãn điều kiện ( ) * là các giá trị cần tìm. 0,25

2 (2,0 điểm)

a) (1,0 điểm) Đặt 2 1; 2 6; 0 a x b x x b = + = − + + ≥

Ta được ( ) 2

2 2 3 2 1 1 1 4 7

ab x b a

b a b x a b a

= + = −   ⇒ = ⇒  = + + = +   − 0,5

Nếu 1 b a = −, thay vào ta được:

2 2 0 2 6 3 0

x x x x x x

≥  − + + = ⇔ − − = 

1 13 2 x + ⇔ = 0,25

Nếu 1 b a = + thay vào ta được:

2 2 2 2 6 2 1 0

x x x x x x

≥−  − + + = + ⇔ + −= 

1 5 2 1 5 2

x

x

 −+ =   ⇔  −− = 

Vậy nghiệm của phương trình là 1 5 1 5 1 13 ; ; 2 2 2 x   −+ −− +   ∈     

0,25

b) (1,0 điểm)

Với điều kiện , 0 x y ≠ thì hệ phương trình trở thành

2 2 2

2 2 2

3 2

x y xy

xy y xy

 + =  + =  2 2 2 0 x xy y ⇒ − − =

0,25

Hướng dẫn gồm 04 trang

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC