Đề thi vào môn Toán năm 2020 2021 trường chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ------------------

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương, khác 1 của x thì biểu thức A không nhận giá trị nguyên, với:

1 1 1 3 4 1 1 4 2 9 x x x A x x x x x

                             

b) Xét các bộ   ; ; x y z thỏa mãn

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c        với , , a b c là các số thực khác 0.

Tính giá trị của biểu thức:

2020 2020 2020

2 2 2 2 2 2 . x y z Q b c c a a b   

Câu 2. (1,0 điểm) Trên đồ thị hàm số 2 0,5 , y x  cho điểm M có hoành độ dương và điểm N có hoành độ âm. Đường thẳng MN cắt trục Oy tại C với O là gốc tọa độ. Viết phương trình đường thẳng OM khi C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . OMN

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình:   3 2 3 3 3 2 28 4 7 0. x x x x x       

b) Giải hệ phương trình:

  2

2 2

3 4 3 3

. 8 6 1 2 9 3

x xy x y y

x y y x

           

Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:

   2 2 2 2 2 2 15 2 3 2 14 0 x x m m x x m m        

có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 4 , , , x x x x thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 3 4 2 3 3 . x x x x x x    

Câu 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn    , B C  nội tiếp đường tròn tâm . O Các đường cao xuất phát từ

B và C lần lượt cắt đường thẳng AO lần lượt tại D và . E Gọi H là trực tâm giác ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . HDE Chứng minh rằng:

a) Tam giác HDE đồng dạng với tam giác ABC và AH là tiếp tuyến của  . O

b) Đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn . BC

Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  , AB AC  nội tiếp đường tròn tâm . O Kẻ đường phân giác , AD

  D BC  của tam giác đó. Lấy điểm E đối xứng với D qua trung điểm của đoạn . BC Đường thẳng vuông góc

với BC tại D cắt AO ở , H đường thẳng vuông góc với BC tại E cắt ở AD tại . K Chứng minh rằng tứ giác BHCK nội tiếp. Câu 7. (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3. x y z   Chứng minh rằng:

     

2 2 2 2 2 2

3 2 . x y y z z x x y y z z x xy x y yz y z zx z x xy yz zx

                        

---------------------- HẾT ----------------------

Câu 1.

a) Với 0 x  và 1, x  ta có:

      

2 2

1 1 1 3 4 1 1 4 2 9

1 1 1 1 4 2 9 1 1

4 1 1 1 1 . 1 4 2 9 2 9

x x x A x x x x x

x x x x x x x x

                                                               

s

Vậy 1 1 . 2 9 A x x 

 

Nếu A thì   1 2 9 x x    mà:  

2 2 9 1 8 1 x x x     nên A không thể là số nguyên.

b) Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 , x x y y a a b c b a b c       và

2 2

2 2 2 2 . z z c a b c   

Từ đó suy ra:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . x y z x y z x y z a b c a b c a b c a b c a b c                

Do đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0. x y z   

Từ đó 0. Q 

Câu 2.

Ta gọi:       2 2 ; 0,5 , ; 0,5 , ; C C M m m N n n C x y   trong đó 0. m 

Do C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN mà C MN  nên tam giác OMN vuông tại O và C là

trung điểm . MN Khi đó 2 2 2 . 0,5 0,5 2

C

C

m n x

m n y

         

Ta có: C Oy  nên 0 C x  suy ra . m n  Khi đó

2 0; . 2 m C

          

Suy ra:

2

, . 2 m OC OM m  

Mặt khác C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN nên:

2

2 2 m OC OM m m      do 0. m 

Suy ra   2; 2 . M  Phương trình đường thẳng OM có dạng y ax  mà đi qua điểm   2; 2 M  nên 1. a 

Vậy y x  là đường thẳng cần tìm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ------------------

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)