Đề thi vào chuyên môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Bình Dương (chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn Toán chuyên Ngày thi 10/7/2020 Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình    2 2020 2019 1 2019 2020 4039. x x x x       

b) Cho hai số thực , m n khác 0 thỏa mãn 1 1 1 . 2 m n   Chứng minh rằng phương trình:

   2 2 0 x mx n x nx m      luôn có nghiệm.

Câu 2. (1,5 điểm)

Với các số thực ,x y thay đổi thỏa mãn 1 5. x y    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

    2 2 2 4 7. P x y x y xy     

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên ,x y thỏa mãn phương trình 2 2 2 2. x xy y x y   

b) Với ,a b là các số thực dương thỏa mãn 1. ab a b    Chứng minh rằng:

   2 2 2 2 1 . 1 1 2 1 1

a b ab a b a b

      

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại    0 90 A BAC  nội tiếp đường tròn  O bán kính , R M là điểm nằm trên cạnh

BC sao cho . BM CM  Gọi D là giao điểm của AM và đường tròn  O với  , D A  H là trung điểm của

đoạn thẳng . BC Gọi E là điểm chính giữa cung lớn , BC ED cắt BC tại . N

a) Chứng minh rằng MA MD MB MC    và . BN CM BM CN   

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . BMD Chứng minh rằng ba điểm , , B I E thẳng hàng.

c) Khi 2 , AB R  xác định vị trí của M để 2MA AD  đạt giá trị nhỏ nhất.

------------------------------ HẾT ------------------------------

--------------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

a) Điều kiện: 2019. x  Nhân cả hai vế của phương trình cho 2020 2019, x x    ta được:

   

  

    

  

2 4039 1 2019 2020 4039 2020 2019

2020 2019 1 2020 2019

2020 2019 2020 2019 1 0

2019 1 2020 1 0

2019 1 2020. 2020 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x

x x x

      

      

              

     

          

So với điều kiện ban đầu ta thấy 2020 x  là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Ta có   1 1 1 2 . 2 m n mn m n     

Phương trình tương đương:  2 0 1 x mx n    hoặc  2 0 2 . x nx m   

Phương trình  1 và  2 lần lượt có 2 1 4 m n   và 2 2 4 . n m  

Ta có:  

2 2 2 2 2 1 2 4 4 2 0. m n m n m n mn m n          

Suy ra một trong hai số 1  hoặc 2  lớn hơn hoặc bằng 0.

Do đó một trong hai phương trình  1 hoặc  2 luôn có nghiệm.

Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Câu 2.

Ta có:           2 2 2 2 2 4 7 2 4 7 2 1 5 5. P x y x y xy x y x y x y              

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  

1 1 . 0;4 1 5

y x y x x x y

                  

Chẳng hạn 2; 3 x y   hoặc 3; 4. x y  

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 đạt được khi 1 y x   và   0;4 . x 

Câu 3.

a) Ta có 2 2 2 2 . x y x xy y y x y       Mặt khác 2 2 2 2 . x y x xy y x y x      

Suy ra: x y  hoặc . x y 

Với , x y  ta có: 2 4 3 0 0. x x x y     

Với , x y  ta có: 2 4

0

1 . 1

x

x x x x

      

Với 1, x  ta có: 1. y  Với 1, x  ta có: 1. y 

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm       ; 0;0 , 1; 1 , 1;1 . x y   

b) Ta có:    2 2 1 1 1 . ab a b a a ab a b a b a          

Tương tự    2 1 1 . b a b b    

Suy ra:

     

            

  

2 2

2 2

1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1 1

1

2 1 1

a b a b a b a b a a b b

ab a b ab a b a b a b a a b a a b

ab

a b

        

              

   

Suy ra điều phải chứng minh.

Câu 4.

a) Ta có:   ABM MDC  do cùng chắn cung  AC và  . AMB CMD 

Suy ra BMA DMC    do đó: . MA MB MC MD 

. MA MD MB MC    

ABE  và ACE  có AE là cạnh chung, AB AC  và   ABE ACE  nên . ABE ACE  

Suy ra    

0 90 2 ABE ACE ABE ACE     (do tứ giác ABEC nội tiếp).