Đề tuyển sinh môn Toán (chuyên) năm 2020 2021 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH

VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2020

Môn thi: Toán

(Dùng riêng cho thí sinh thi vào chuyên Toán, chuyên Tin học)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (2,0 điểm)

Cho ba số thực , , x y z thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

3 3 3

2 2 2 3 3 3

2 3 4

2 3 4 2 12 16.

0

x y z

x y z

xyz

 = =  + + = + +   > 

Tính giá trị của biểu thức 1 1 1. P x y z = + +

Bài 2. (2,0 điểm)

Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0 1 . ax bx c + + = Trong đó , , a b c là các số nguyên dương. Biết rằng các điều kiện sau được

thỏa mãn: phương trình (1) có nghiệm; số 2020 a b chia hết cho 12; số 3 3 c + chia hết cho 3. c + Hãy tìm giá trị lớn nhất của tổng a b c + + .

Bài 3. (2,0 điểm)

Tìm số nguyên a nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức 4 2 2 4 0 x x x a + − + ≥ đúng với mọi số thực .x

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O có . AB BC > Một đường tròn đi qua hai đỉnh , A C của tam giác

ABC lần lượt cắt các cạnh , AB BC tại hai điểm , K N ( , K N khác các đỉnh của tam giác ). ABC Giả sử đường tròn

( ) O và đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt nhau tại giao điểm thứ hai là M với M khác . B Chứng minh rằng:

a) Ba đường thẳng , , BM KN AC đồng quy tại điểm . P

b) Tứ giác MNCP nội tiếp.

c) 2 2 . BM PM BK BA PC PA − = ⋅ − ⋅

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho hai số , A B có 2020 chữ số. Biết rằng số A có đúng 1945 chữ số khác 0 bao gồm 1930 chữ số ngoài cũng về bên trái

và 15 chữ số ngoài cùng về bên phải, số B có đúng 1945 chữ số khác 0 bao gồm 1930 chữ số ngoài cũng về bên trái và 24 chữ số ngoài cũng về bên phải. Chứng minh rằng ƯCLN( ; ) A B là một số có không quá 1954 chữ số.

----------------- HẾT -----------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1.

Từ giả thiết thứ nhất, ta suy ra , , x y z là ba số cùng dấu. Mà 0 xyz > nên cả ba số , , x y z đều là số dương. Bây giờ, đặt

3 3 3 2 3 4 ( 0) x y z k k = = = > thì ta có:

3 3 3 2 2 2 2 3 4 1 1 1 2 3 4 x y z x y z k x y z x y z   + + = + + = + +    

Mà: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 1 1 1 2 12 16 4 k k k k x y z x y z   + + = + + = + +    

.

Do đó, giả thiết thứ hai của bài toán có thể được viết lại thành

3 3 1 1 1 1 1 1 4 . k k x y z x y z     + + = + +        

Từ đây, ta dễ dàng suy ra 1 1 1 1 2 P x y z = + + = .

Bài 2

Từ giả thiết, ta suy ra ,a b là các số có một chữ số.

Vì 3 3 c + chia hết cho 3 c + nên 2 3 ( 3)( 3 9) ( 3) 24 c c c c + − + − + = chia hết cho ( ) 3 2 . c +

Do phương trình (1) có nghiệm nên biệt thức của nó không âm, tức ( ) 2 4 0 3 b ac − ≥ .

Do 2020 a b chia hết cho 12 nên b chia hết cho 4 và 1 a b + + chia hết cho  3 4 .

Do b chia hết cho 4 và b nguyên dương nên 4 b = hoặc 8 b = .

• Với 4 b = , ta có 4 ac ≤ (do (3)) và 2 a + chia hết cho 3 (do (4)). Kết hợp với (2), ta tìm được các cặp ( ; ) a c thỏa

mãn là (1;1), (1;3) và (4;1) .

• Với 8 b = , ta có 16 ac ≤ (do (3)) và a chia hết cho 3 (do(4)). Kết hợp với (2), ta tìm được các cặp ( ; ) a c thỏa

mãn là (3;1), (3;3), (3;5), (6;1) và (9;1).

So sánh các kết quả, ta thấy a b c + + lớn nhất là 18, đạt được khi 9, 8 a b = = và 1. c =

Bài 3.

Cho 1 2 x = , ta được 23 0 16 a − ≥ , tức 23 16 a ≥ . Mà a là số nguyên nên 2 a ≥ .

Mặt khác, với 2 a = , ta có 4 2 4 2 2 4 2 2( 1) 0, x x x x x x + − + = + − ≥ ∀∈.

Vậy 2 a = chính là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4.