Đề tuyển sinh 10 môn Toán (không chuyên) năm 2020 2021 trường PTNK TP HCM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2020 - 2021 HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Môn thi: TOÁN (không chuyên)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (1,0 điểm) Cho ba biểu thức

 

      

3 3

2 1 1 8 , 4 3 1 3 1

x x x x M N x x x

         

và . 2 x P x  

a) Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn 4. M x   b) Trong trường hợp các biểu thức , M N và P xác định, rút gọn biểu thức . Q MN P  

Câu 2. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình   4 2 3 3 4 5 0. 1 x x x x x

                 

b) Cho hai số thực , m n thỏa mãn hai đường thẳng : d y mx m   và  1 : 3 2 d y x m n mn     cắt nhau tại

điểm   3;9 . I Tính giá trị của mn và . m n

c) Cho hình chữ nhật ABCD có chu vì bằng 28 ( ) cm và nội tiếp đường tròn  C có bán kính 5 ( ). R cm  Tính

diện tích hình chữ nhật . ABCD

Câu 3. (2,0 điểm) Gọi  , P d lần lượt là các đồ thị của hàm số 2 y x  và 2 3. y mx  

a) Chứng minh rằng đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt     1 1 2 2 ; , ; A x y B x y với mọi

số thực . m Tính 1 2 y y  theo . m

b) Tìm tất cả các số thực m sao cho 1 2 1 2 1 2 4 4 3 . y y x x x x    

Câu 4. (1,0 điểm) Một kho hàng nhập gạo (trong kho chưa có gạo) trong 4 ngày liên tiếp và mỗi ngày (kể từ ngày thứ hai) đều nhập một lượng gạo bằng 120% lượng gạo đã nhập vào kho trong ngày trước đó. Sau đó, từ

ngày thứ năm kho ngừng nhập và mỗi ngày kho lại xuất một lượng gạo bằng 1 10 lượng gạo kho ở ngày trước đó.

Hãy tính lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ nhất trong mỗi trường hợp sau: a) Ngày thứ ba, sau khi nhập xong thì trong kho có 91 tấn gạo. b) Tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ năm và thứ sau là 50,996 tấn gạo.

Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  T có tâm , O có AB AC  và  0 90 . BAC  Gọi M

là trung điểm của đoạn . AC Tia MO cắt đường tròn  T tại điểm . D Đường thẳng BC lần lượt cắt các đường

thẳng AO và AD tại các điểm , . N P

a) Chứng minh rằng tứ giác OCMN nội tiếp và   4 . BDC ODC 

b) Tia phân giác của  BDP cắt đường thẳng BC tại điểm . E Đường thẳng ME cắt đường thẳng AB tại điểm . F Chứng minh rằng CA CP  và . ME DB 

c) Chứng minh rằng tam giác MNE cân. Tính tỉ số . DE DF

--------------- HẾT ---------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. a) Điều kiện xác định của : M 0. x  Với điều kiện này, ta có:

( ) ( )( )

3 8 2 2 4 2. 2 4 2 4

x x x x M x x x x x

− − + + = = = − + + + +

Do đó phương trình 4 M x   tương đương:

   2 4 2 0 2 1 0 2 4 x x x x x x x x              thỏa 0. x 

Vậy 4 x  là giá trị duy nhất cần tìm. b) Điều kiện để ba biểu thức , , M N P cùng xác định là 0 x  và 4. x 

Ta có:       

       

3 3 1 1 2 3 1 2 2 . 4 3 1 4 3 1 4 2 2

x x x N x x x x x x x

              

Do đó, ta có:    

2 2 2 1. 2 2 2 2 2

x x Q x x x x x x            

Vậy 1. Q 

Câu 2.

a) Điều kiện: 0 x  và 1. x  Phương trình tương đương  4 2 4 5 0 1 x x   hoặc 3 3 . x x  

Ta có:     2 2 1 1 5 0. x x     Do 0 x  và 1 x  nên phương trình này vô nghiệm.

Lại có       2 3 3 2 3 3 1. 1 6 0 3 3

x x x x x x x x x

                         

Nhưng 0 x  và 1 x  nên

phương trình này vô nghiệm. Tóm lại phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Điều kiện để  d và  1d cắt nhau là 1. m  Ta lại có I thuộc  d và  1 , d nên ta có hệ:

9 4 9 . 4 3 2 6 3

m m m n mn n

                  

Do đó 27 4 mn  và 3. 4 m n 

c) Độ dài đường chéo AC bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD nên 10 ( ). AC cm 

Đặt ( ) AB a cm  và ( ) BC b cm  với , 0. a b  Khi đó diện tích hình chữ nhật ABCD là   2 . ab cm

Theo giả thiết ta có:   2 28 14. a b a b    

Lại có 2 2 2 100. a b AC   

Suy ra:     2 2 2 2 14 100 48. 2 2

a b a b ab       

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD bằng  …