Đề tuyển sinh môn Toán năm 2020 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (vòng 2)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020

MÔN THI: TOÁN (VÒNG 2)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.

a) Giải hệ phương trình:

  

   2 3 3 1 4 . 5 12 13 243

x y x

y xy x y x y y

            

b) Giải phương trình:       7 7 7 12 2 12 24 3 0. x x x      

Câu 2.

a) Tìm tất cả các số nguyên dương , , a b c sao cho cả ba số 2 2 2 4 5 , 4 5 , 4 5 a b b c c a    đều là bình phương của một số nguyên dương.

b) Từ một bộ bốn số thực   , , , a b c d ta xây dựng bộ số mới   , , , a b b c c d d a     và liên tiếp xây dựng

các bộ số mới theo quy tắc trên. Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu được cùng một bộ số (có thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng   , , , . a a a a  

Câu 3.

Cho tam giác ABC cân tại có  0 90 . BAC  Điểm E thuộc cạnh AC sao cho  0 90 . AEB  Gọi P là giao điểm của BE với trung trực . BC Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên . AB Gọi Q là hình chiếu vuông góc của E lên . AP Gọi giao điểm của EQ và PK là . F

a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , A E P F cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi giao điểm của KQ và PE là .L Chứng minh rằng LA vuông góc với . LE

c) Gọi giao điểm của FL và AB là . S Gọi giao điểm của KE và AL là . T Lấy R là điểm đối xứng của A qua .L Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AST và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPR tiếp xúc nhau.

Câu 4.

Với , , a b c là những số thực dương thỏa mãn 3. a b c  Chứng minh rằng:

2 1 1 1 4 3 1 1 3 . a b c a b c abc bc ca ab

                          

-------------------- HẾT --------------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

a) Với    1 4, x y x    ta có:

     

       

      

    

 

3 3 3

3

3

3

3

12 13 3 12 1 1

3 3 1 1 1

3 1 1 1

3 1 1

1

x y y x y xy x y y

x y xy x y x x y y

x y x y xy x y

x y x y x y

x y

         

        

           

      

  

Ngoài ra:

     

    

2

2 5 1 1 1

2 1 1 .

y xy x y y x y x x y

x y x y x y

        

      

Do đó phương trình thứ hai của hệ tương đương   5 243 2. x y x y     

Từ đó ta tìm được 1. x y  

Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất     ; 1;1 . x y 

b) Đặt 12 a x   và 2 12. b x   Khi đó phương trình trở thành:

     

   

  

    

7 7 7 7 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

5 4 2 3 3 2 4 5

2 2 2 2 2 2

0

0

7 14 21 14 7 0

0

a b a b a b a a b a b a b a b ab b a b

a b a a b a b a b a b ab b a b

a b a b a b a b a b ab

ab a b a ab a b ab b

             

                        

            

Nhận thấy ,a b không đồng thời bằng 0 nên phương trình tương đương:  

0 0 0 . 0

a ab a b b a b

        

Với 0, a  ta có 12. x 

Với 0, b  ta có 6. x 

Với 0, a b  ta có 8. x 

Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm   6; 8; 12 . S 

Câu 2.

a) Không mất tính tổng quát, giả sử a là số lớn nhất trong ba số , , a b c .