Đề tuyển sinh môn Toán năm 2020 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (Đề chung)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020

MÔN THI: TOÁN (đề thi dành cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.

a) Giải hệ phương trình:

 

2 2

3 2 7 . 9 70

x y xy

x xy x y

        

b) Giải phương trình:    11 5 8 2 1 24 3 5 2 1 . x x x x      

Câu 2.

a) Tìm ,x y nguyên dương thỏa mãn: 2 2 2 2 16 99 9 36 13 26 . x y xy x y x y      

b) Với ,a b là những số thực dương thỏa mãn:

2 2 3 5 a b    và 2 2 8 12 2 3 5 10. a b a b ab     

Chứng minh rằng: 2 2 3 8 10 21. a b ab   

Câu 3.

Cho tam giác ABC có  BAC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn . O Điểm D

thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của . BAC Lấy các điểm , M N thuoocj  O sao cho các đường thẳng

CM và BN cùng song song với đường thẳng . AD

a) Chứng minh rằng . AM AN 

b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN với các đường thẳng , AC AB lần lượt là , . E F Chứng minh rằng bốn điểm , , , B C E F cùng thuộc một đường tròn.

c) Gọi , P Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng , . AM AN Chứng minh rằng các đường thẳng , EQ FP và AD dồng quy.

Câu 4.

Với , , a b c là những số thực dương thỏa mãn 3. a b c  Chứng minh rằng:

   

   

   

2 2 2

2 2 2 4. 2 2 2

a a bc b b ca c c ab

b ab c c bc a a ca b

        

-------------------- HẾT --------------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

a) Phương trình thứ hai của hệ tương đương:

 

    

  

3 2

3 2 2 2

3 2 3

2 2

9 70

7 9 70

10 0

2 2 5 0

2 . 0

x xy x y

x xy x y x xy y

x xy y

x y x xy y

x y x y

  

     

   

    

    

Ta có: 0 x y   không thỏa hệ.

Với 2 , x y  ta có: 2 1 7 7 .1

y y y

    

Với 1, y  ta có: 2. x 

Với 1, y  ta có: 2. x 

Vậy hệ cho có hai nghiệm      ; 2; 1 , 2;1 . x y  

b) Điều kiện: 1 5. 2 x   Đặt 5 , 2 1 a x b x     với , 0 a b  và 2 2 2 9. a b  

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

   

      

  

2 2 11 8 24 3

3 2 5 15 2 3

3 2 5 15 2

2 5 3 0

2 5

3

a b ab

a b a b a b ab

a b a b a b a b

a b a b

a b

a b

  

       

       

   

    

Trường hợp 2 5 a b  kết hợp với 2 2 2 9, a b   ta có:      2 2 2 5 2 9 2 3 4 0. a a a a       

Với 2, a  ta có: 1. x  Với 4 , 3 a  ta có: 2. 9 x 

Trường hợp 3 a b  kết hợp với 2 2 2 9, a b   ta có:     2 2 2 3 9 2 0. a a a a      

Với 2, a  ta có: 1. x  Với 0, a  ta có: 5. x 

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm 2 , 1, 5. 9 x x x   

Câu 2.

a) Phương trình tương đương:

   

     

2 2 2 2

2 2 20 100 9 4 13 2 1

10 9 2 13 2 1.

x y xy x xy y x y

xy x y x y

       

      

Đặt 2 , x y a   ta có: 2 9 13 1 a a   là số chính phương với 0. a 

Mà     2 2 2 3 1 9 13 1 3 3 , a a a a      do đó   2 2 9 13 1 3 2 3. a a a a     

Với 3, a  ta có 2 3 1. 1

x y x y xy

        

Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất     ; 1;1 . x y 

b) Ta có:       2 2 8 12 2 3 5 10 4 2 3 2 3 10 1 . a b a b ab a b a b a b           

Đặt 2 3 , x a b y a b     với 2 5. x   Ta có:  1 trở thành: 5 4 10 2. 2 y x xy x     

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 2 2 2 2 21 4 25. x y x y     

Ta có:

2 2 2 2 2 2 2 25 4 5 4 4 25 4 25 1 2 25 1 8 25 1 . 4 2 y y y x x x x x

                                                              

Ta cần chứng minh: 2 2 4 8 25 1 4. x x

            Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

     4 2 29 100 0 2 2 5 5 0. x x x x x x         

Bất đẳng thức cuối đúng do 2 5. x  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 5, 2 x y   hay 1. a b  

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 3.