Đề Toán tuyển sinh vào năm 2019 trường THPT chuyên KHTN Hà Nội

Bài 1.

a, Giải phương trình: 2

2 26 5 2 26 5 3 30 30

x x x x

+ + + = + +

b, Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

( 2 )(2 3 4 ) 27

x y

x y y xy

 + =  + + + = 

Bài 2.

a, Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 2 2 ( 1)( ) 3 1 x x y xy x − + + = −

b, Với x,y là các số thực thay đổi thỏa mãn 1≤ y ≤ 2 và xy + 2 ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2

2 4 1 x M y + = +

Bài 3. Cho hình vuông ABCD, đường tròn (O) nội tiếp hình vuông tiếp xúc với các cạnh

AB, AD tại hai điểm E,F. Gọi G là giao điểm các đường thẳng CE và BF.

a, Chứng minh rằng năm điểm A,F,O,G,E cùng nằm trên một đường tròn

b, Gọi giao điểm của đường thẳng FB và đường tròn là M(M ≠ F). CMR M là trung điểm

của đoạn thẳng BG.

c, CMR trực tâm của tam giác GAF nằm trên đường tròn (O)

Bài 4. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Chứng minh rằng:

3

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1

    + + ≥ + +   + + + + + +  

x y z x y z x y z

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 01 trang

KỲ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NĂM HỌC 2019 – 2020 Môn: TOÁN (VÒNG 1) Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề)

-------------------- HẾT --------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1.

a, Điều kiện 5 26 ≥− x đặt a = 26 5 x + và b = 2 30 x + (a ≥ 0, b > 0)

Phương trình trở thành

( )( )

2 2 2 3 3 0 26 5 30 + = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ + = + a a b a b a b a b x x b

Vậy x = 1 hoặc 25 là nghiệm của phương trình.

b, thay 2 = x2 + y2 vào phương trình thứ 2 ta được

(x + 2y)(x2 + y2 + 3y2 + 4xy) = 27

( ) 3 2 ⇔ + x y = 27

⇔ x = 3 - 2y thay vào PT thứ nhất ta được (3 - 2y)2 + y2 = 0

y = 1 hoặc y = 7 5

x = 1 hoặc 1 5

Bài 2.

a, từ biểu thức 2 2 ( 1)( ) 3 1 x x y xy x − + + = − ta nhận thấy 3x - 1 phải chia hết cho (x2 – x + 1)

ta có (3x - 1)(3x - 2) = 9x2 - 9x + 2 = 9(x2 – x + 1) - 7 cũng phải chia hết cho (x2 – x + 1)

suy ra 7 chia hết cho (x2 – x + 1)

(x2 – x + 1) = 1 hoặc 7

y = 0, 1, 3 và -2 lần lượt thay vào ta có y => (x,y) = (1, 1),(1, -2) và (-2, 1)

b, Từ giả thiết xy + 2 ≥ 2y => 4xy + 8 ≥ 8y

Mà ta lại có 4x2 + y2 ≥ 4xy

⇒4x2 + y2 + 8 ≥ 4xy + 8 ≥ 8y

⇒4(x2 + 4) ≥ 8y + 8 - y2

⇒4(x2 + 4) ≥ 4(y2 + 1) + (5y + 2)(2 - y) ≥ 4(y2 + 1)

2

2 4 1 + ⇒ = + x M y ≥ 1

Dấu “=” xẩy ra khi x = 1 và y = 2, Mmin = 1.

Bài 3.

a, Do đường tron (O) nội tiếp hình vuông ABCD nên E

và F là trung điểm các cạnh AB và AD => ∆ ABF và ∆

BCE bằng nhau => góc EBG bằng góc BCG => góc BGC

vông => AEGF cùng nằm trên một đường tròn, mà

AEOF cũng nằm trên một đường tròn => AEGOF cùng

nằm trên một đường tròn.

b, Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên

góc BEM = góc EFM,

lại có góc EAG và EFG cùng chắn cung EG nên góc EAG = EFG

suy ra EM//AG trong khi E là trung điểm của AB => M cũng là trung điểm của BG

Bài 4.

3

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1

    + + ≥ + +   + + + + + +  

x y z x y z x y z

Ta có:

1 +x 2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)(x + z)

1 + y2 = xy + yz + xz + y2 = (x + y)(y + z)

1 + z2 = xy + yz + xz + z2 = (z + y)(x + z)

VT= 2( ) ( )( )( ) x y z x y y z z x + + + + +

Ta có:

2

2 2 2 1 1 1

    + +   + + +  

x y z

x y z

≤ 2 2 2 ( ) 1 1 1   + + + +   + + +  

x y z x y z x y z