Đề Toán tuyển sinh năm 2019 trường chuyên ĐHSP Hà Nội (Đề chung)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2019 Môn thi: Toán (Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: 1. Rút gọn biểu thức:

2

3

3

1 3 1 2 1 : 1 1 1 3 1

a a a a P a a a a

                    

với 1 a , 1 a 

2. Các số thực x , y , a thỏa mãn:

2 4 2 2 4 2 3 3 x x y y y x a     .

Chứng minh đẳng thức: 3 3 2 2 2 3 x y a  

Câu 2: Trên quãng đường AB dài 20km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ B về A. Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ tại C 15 phút (vận tốc của An trên quãng đường AC không thay đổi, vận tốc của Bình trên quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quãng đường AC là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với Bình đến A là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu? Câu 3: Cho các đa thức:

2 ( ) P x x ax b    ; 2 ( ) Q x x cx d    với a, b, c, d là các số thực.

1. Tìm a và b để 1 và a là nghiệm của phương trình ( ) 0 P x 

2. Giả sử phương trình P x ( ) =0 có hai nghiệm phân biệt 1x , 2x và phương trình ( ) 0 Q x  có hai

nghiệm phân biệt 3x , 4x sao cho 3 4 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P x P x Q x Q x    .Chứng minh: 2 1 4 3 x x x x   

Câu 4: Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi AA1, BB1,CC1 là các đường cao của tam giác ABC. Đường thẳng A1C1 cắt đường tròn (O) tại A’ và C’ (A1 nằm giữa A’ và C1). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A’ và C’ cắt nhau tại B’. 1. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: HC1.A1C=A1C1.HB1. 2. Chứng minh ba điểm B,B’,O thằng hàng. 3. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính A’C’ theo R. Câu 5: Cho các số thực x , y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 ( 2)( 6) 13 4 26 24 46 P xy x y x y x y        

----------------------------------------Hết--------------------------------------------

Họ và tên thí sinh:...................................................................... Số báo danh: ..............................................