Đề Toán tuyển sinh THPT chuyên 2018 2019 sở GD và ĐT Nam Định (đề chung)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học: 2018 – 2019 Môn thi: Toán (chung) – Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 3 x x   .

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 2 ( ) y x d  và 2 3 3 ( ) 2 y x d   . Gọi A,

B lần lượt là giao điểm của (d1), (d2) với trục Oy và C là giao điểm của (d1) với (d2). Tính diện tích tam giác ABC. 3) Cho tam giác ABC có 8( ), 17( ), 15( ) AB cm BC cm CA cm    . Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 4) Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là 6 ( ) cm  , độ dài đường sinh là 5( ) cm . Tính thể tích hình nón đó.

Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức 1 1 1 : x x P x

x x x x

                  (với 0 x  và 1 x ).

1) Rút gọn biểu thức P. 2) Chứng minh rằng với mọi 0 x  và 1 x  thì 4 P  . Câu 3 (2,5 điểm) 1) Cho phương trình 2 2 4 0 x mx m m      (với m là tham số). a) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình đã cho 1 2 ( ) x x  . Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để 2 1 2 x x   .

2) Giải phương trình 2 6 2 3 3 3 1 4 6 x x x x x         . Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC (với AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O; R). Đường tròn (O; R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB lần lượt tại D, N. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O; R). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. 1) Chứng minh tam giác BOE vuông và 2 . . EI BD FI CD R   . 2) Gọi P, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD; Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh 2 AQ KP  . 3) Gọi A1 là giao điểm của AO với cạnh BC, B1 là giao điểm của BO với cạnh AC, C1 là giao điểm của CO với cạnh AB và (O1; R1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh:

1 1 1 1 1

1 1 1 2 AA BB CC R OO     .

Câu 5 (1,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 2 (2 4 1) 2 1 (4 2 3) 2

8 5 2(3 2) 4 3 2 2 5 2

x y x y x y x y

x x y x y x x

                 (1) (2)

2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 7 ab bc ca    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

2 2 2 11 11 12

8 56 8 56 4 7

a b c Q a b c

        .

-------------------- HẾT --------------------

Họ và tên thí sinh: ............................................. Họ tên, chữ kí GT 1: ........................... Số báo danh: ...................................................... Họ tên, chữ kí GT 2: ...........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN:

Câu Phần Nội dung Điểm

Câu 1 (2,0đ)

1)

2 3   x x (1) (ĐK: x 0  )

2 2 1 (1) 2 3 2 3 0 ( 1)( 3) 0 3

              

x x x x x x x x

Kết hợp với điều kiện x 3   Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

0.5

2)

Đường thẳng (d1) đi qua các điểm (0; – 2) và (– 2; 0) Đường thẳng (d2) đi qua các điểm (0; 3) và (– 2; 0) Theo đề bài, ta có: A(0; – 2) , B(0; 3) , C(– 2; 0) CO = 2; AB = 5 Diện tích của ABC là:

AB.OC 5.2 S 5 2 2    (đơn vị diện tích)

0.5

3)

Ta có: BC2 = 172 = 289 AB2 + AC2 = 82 + 152 = 289 BC2 = AB2 + AC2 ABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo) Vẽ (O; R) nội tiếp ABC, (O) tiếp xúc AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F. Tứ giác ADOE có    0 DAE ADE AED 90    Tứ giác ADOE là hình chữ nhật Lại có OD = OE = R Tứ giác ADOE là hình vuông AD = OD = R Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AD = AE, BD = BF, CE = CF AB + AC = AD + BD + AE + CE = AD + BF + AD + CF = 2AD + BC AD = (AB + AC – BC) : 2 = (8 + 15 – 17) : 2 = 3(cm) R = 3cm.

0.5

4)

Bán kính đường tròn đáy là:

C 6 r 3 2 2       (cm)

Gọi  là độ dài đường sinh, h là chiều cao của hình nón Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

2 2 2 2 h r 5 3 4       (cm)

0.5

F

O

A

B

C

D

E

4

2

2 d2

d1

y

x C

B

A

O