Đề thi tuyển sinh năm học 2017 2018 môn Toán trường THPT chuyên Quốc học TT Huế (chuyên Tin)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,5 điểm)

Cho biểu thức:

2 a 1 a a 1 a a a a 1 M a a a a a a           với a > 0, a  1.

a) Chứng minh rằng M 4. 

b) Tìm tất cả các giá trị của a để biểu thức 6 N M  nhận giá trị nguyên.

Câu 2: (1,5 điểm)

Cho parabol 2 (P) : y 2x  và đường thẳng (d) : y ax b.  

a) Tìm điều kiện của b sao cho với mọi số thực a, parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi A là giao điểm của (P) và (d) có hoành độ bằng 1, B là giao điểm của (d) và trục tung. Biết rằng tam giác OAB có diện tích bằng 2, tìm a và b. Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho phương trình 2 x 2(m 3)x 2m 5 0      (x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 thỏa mãn

1 2

1 1 4 3 x x   .

b) Giải phương trình: 2 2 1 3 1 x x x 2 x 3x 2       .

Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn   O;R và hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau, M là điểm thuộc cung CD

không chứa A của   O;R (M không trùng với hai điểm C và D). Đường thẳng AM cắt CD tại N.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. Đường thẳng IM cắt đường tròn   O;R tại K. a) Chứng minh tam giác INC vuông cân tại I. Từ đó suy ra ba điểm I,B,C thẳng hàng.

b) Tính tỉ số

2 2 R OI . IM.IK 

c) Tìm vị trí của điểm sao cho tích IM.IK có giá trị lớn nhất. Câu 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên x,y,z không âm thỏa mãn xyz xy yz zx x y z 2017.       

b) Bên trong hình vuông cạnh bằng 1, lấy 9 điểm phân biệt tùy ý sao cho không có bất kỳ 3 điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm trong số đó tạo thành

một tam giác có diện tích không vượt quá 1 8 .

------- Hết -------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………………… Chữ ký của giám thị 1:…………………………Chữ ký của giám thị 2 :……………………...

Trang 1/4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM (Nội dung có 04 trang) Câu Đáp án Điểm

1 (1,5 điểm)

Cho biểu thức:

2 a 1 a a 1 a a a a 1 M a a a a a a           với a > 0, a  1.

a) Chứng minh rằng M 4. 

0,75

Ta có

2 a 1 a a 1 a a a a 1 M a a a a a a          

Do a > 0, a  1 nên: a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1 a a a( a 1) a           0,25

2 a a a a 1 (a 1)(a 1) a(a 1) (a 1)(a a 1) a a 1 a a a a(1 a) a(1 a) a                  

Nên a 1 a a 1 a a 1 a 2 a 1 a 1 M 2. a a a a a              

0,25

Do a 0, a 1   nên: 2 ( a 1) 0 a 1 2 a      2 a M 2 4. a    0,25

b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức 6 N M  nhận giá trị nguyên? 0,75

Ta có 6 3 0 N M 2    do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1. 0,25

Khi đó 6 a N 1 1 a 4 a 1 0 a 1 2 a     

a 2 3 hay a 2 3      0,25

a 7 4 3    hoặc a 7 4 3   . 0,25

2 (1,5 điểm)

Cho parabol 2 (P) : y 2x  và đường thẳng (d) : y ax b.  

a) Tìm điều kiện của b sao cho với mọi số thực a , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt.

0,5

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2 2 2x ax b 2x ax b 0 (1)      

(1) là phương trình bậc 2 có 2 a 8b.   0,25

Với mọi a , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt 0  với mọi a 

2 a 8b 0    với mọi a 

2 a b 8   với mọi a  b 0   .

Điều kiện của b để với mọi a , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt là b 0. 

0,25