Đề thi tuyển sinh năm học 2017 2018 môn Toán trường THPT chuyên Quốc học TT Huế (chuyên Toán)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTCHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,5 điểm)

a) Cho các biểu thức 1 9 x P(x) , x x 3 x    

x 1 Q(x) x   với x 0.  Tìm số nguyên x

nhỏ nhất thỏa mãn P(x) 1. Q(x) 2 

b) Tính giá trị của biểu thức

4 3 2

2 2x 21x 55x 32x 4012 F x 10x 20        khi x 5 3   (không

sử dụng máy tính cầm tay).

Câu 2: (2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol 2 (P): y x ,  đường thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua điểm M(0;1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ 1 2 x , x thỏa điều kiện 1 2 x x 2.  

b) Giải hệ phương trình

3 3

2 2 x y 9 . x 2y x 4y

       

Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình 2 2 2 x 2(m 1) x 1 m m 2 0        (1) (x là ẩn số). a) Giải phương trình (1) khi m 0.  b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt. Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) có tâm O và hai điểm C, D trên (O) sao cho ba điểm C, O, D không thẳng hàng. Gọi Ct là tia đối của tia CD, M là điểm tùy ý trên Ct, M khác C. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A và B là các tiếp điểm, B thuộc cung nhỏ  CD ). Gọi I là trung điểm của CD, H là giao điểm của đường thẳng MO và đường thẳng AB. a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. b) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên tia Ct.

c) Chứng minh

2

2 MD HA . MC HC 

Câu 5: (2,0 điểm) a) Cho a, b, c là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện ab bc ac 1.   

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 a b c E . a b b c c a      

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 n n 3  là một số chính phương.

------- Hết -------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh :…………………………. Số báo danh :………………………………....... Chữ ký của giám thị 1 :…………………….. Chữ ký của giám thị 2 :....……………………...

Trang 1/4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN)

HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm

1 (1,5 điểm)

a) Cho các biểu thức 1 9 x P(x) , x x 3 x    

x 1 Q(x) x

  với x 0. 

Tìm số nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn P(x) 1 . Q(x) 2  0,75

Ta có 1 Q(x) 1 0, x 0 x    . Do đó P(x) 1 2P(x) Q(x) Q(x) 2    0,25

1 9 x x 1 2 3x 5 x 2 0 x x 3 x x                 0,25

   x 2 3 x 1 0 x 2 x 4         (vì 3 x 1 0  ).

Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của x cần tìm là x 4  . 0,25

b) Tính giá trị của biểu thức

4 3 2

2 2x 21x 55x 32x 4012 F x 10x 20        khi x 5 3  

(không dùng máy tính cầm tay). 0,75

Ta có x 5 3   suy ra 5 x 3   . Do đó 2 2 (5 x) 3 x 10x 22 0       . 0,25

Ta có

2 2

2 (x 10x 22)(2x x 1) 4034 F x 10x 20         . 0,25

Mà 2 x 10x 22 0    nên 2 x 10x 20 2   . Suy ra 4034 F 2017 2     . 0,25

2 (2,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol 2 (P) : y x ,  đường thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua điểm M(0;1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ 1 2 x , x thỏa điều kiện

1 2 x x 2.  

1,00

Đường thẳng (d) có phương trình y kx 1  . 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 2 x kx 1 0   (1). Ta có 2 k 4 0    , với mọi k nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 0,25

Theo định lý Vi-ét, ta có: 1 2 1 2 x x k, x x 2    .

Suy ra 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (x x ) (x x ) 4x x k 4 4        . 0,25

Do đó 1 2 x x 2   (dấu “=” xảy ra khi k 0  ). 0,25

b) Giải hệ phương trình

3 3

2 2 x y 9

x 2y x 4y

       

(1) (2) . 1,00

Nhân hai vế phương trình (2) cho 3, ta được 2 2 3x 6y 3x 12y    (3). 0,25 Trừ …