Đề thi tuyển sinh THPT chuyên năm học 2017 2018 môn Toán sở GD và ĐT An Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa ngày 07 - 7 - 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1. (1,5 điểm)

Cho 𝑥= 13

19 + 8 3

. Tính giá trị của biểu thức 𝐴= 𝑥2 −8𝑥+ 15.

Câu 2. (1,5 điểm)

Cho hàm số 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 (𝑎≠0) có đồ thị là đường thẳng 𝑑 trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦. Viết theo 𝑎 và 𝑏 phương trình đường thẳng (𝑑′). Biết rằng (𝑑) và (𝑑′) vuông góc với nhau đồng thời cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành.

Câu 3. (1,5 điểm)

Tìm 𝑥, 𝑦, 𝑧 biết :

𝑥2 + 𝑦−𝑧+ 1 2 = 0

5𝑦−3𝑧−9 = 0

.

Câu 4. (1,5 điểm)

Cho hai phương trình bậc hai (𝑚 là tham số) :

2𝑥2 + 𝑚−1 𝑥−3 = 0 ; 4𝑥2 − 𝑚−7 𝑥−9 = 0. a. Tìm 𝑚 để cả hai phương trình đều có nghiệm. b. Tìm 𝑚 để hai phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm chung.

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn 𝑂 . Biết 𝐴 = 600; 𝐵 và 𝐶 là hai góc nhọn có số đo khác nhau. Vẽ các đường cao 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 của tam giác 𝐴𝐵𝐶 (𝐸, 𝐹 lần lượt thuộc 𝐴𝐶, 𝐴𝐵).

a. Chứng minh rằng 𝐵𝐶𝐹 = 𝐵𝐸𝐹 . b. Gọi 𝐼 là trung điểm của 𝐵𝐶. Chứng minh tam giác 𝐼𝐸𝐹 là tam giác đều. c. Gọi 𝐾 là trung điểm của 𝐸𝐹. Chứng minh rằng 𝐼𝐾 song song 𝑂𝐴.

Câu 6. (1,0 điểm)

Trong một hình vành khăn với các bán kính đường tròn là 10𝑅 và 8𝑅. Xếp các hình tròn bán kính 𝑅 tiếp xúc với cả hai đường tròn của hình vành khăn sao cho các hình tròn này không chồng lấn nhau. Hỏi xếp được nhiều nhất bao nhiêu hình tròn như thế?

----------Hết---------

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: . . . . . . . ; Phòng: . . . .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Khóa ngày 07-7-2017 MÔN TOÁN CHUYÊN A. ĐÁP ÁN Câu Đáp án Điểm

Câu

1

Ta có 19 + 8 3 = 16 + 2.4 3 + 3 = 4 + 3

2 0,5

⟹𝑥= 13

4 + 3

= 13 4 − 3

16 −3 = 4 − 3

⟹𝑥2 = 4 − 3

2 = 19 −8 3

0,5

Thay vào 𝐴 ta được 𝐴= 19 −8 3 −8 4 − 3 + 15 = 19 −8 3 −32 + 8 3 + 15 ⟹𝐴= 2

0,5

Câu

2

𝑑 : 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 𝑎≠0 Giả sử (𝑑’): 𝑦= 𝑎’𝑥+ 𝑏’ Do 𝑑 , (𝑑′) vuông góc nhau

⟹𝑎. 𝑎′ = −1 ⟹𝑎′ = −1

𝑎 (do 𝑎≠0)

0,5

Ta lại có : 𝑑 cắt 𝑂𝑥 tại điểm có hoành độ 𝑥= −

𝑏

𝑎

𝑑′ cắt 𝑂𝑥 tại điểm có hoành độ 𝑥= −

𝑏′

𝑎′ Theo đề bài hai đường thẳng 𝑑 ; (𝑑′) cắt nhau tại điểm thuộc 𝑂𝑥 nên

−𝑏

𝑎= −𝑏′

𝑎′

⟺𝑏′ = 𝑎′𝑏

𝑎=

−1

𝑎 . 𝑏

𝑎 = −𝑏

𝑎2

0,5

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình:

𝑑′ : 𝑦= −1

𝑎𝑥−𝑏

𝑎2 = −1

𝑎2 (𝑎𝑥+ 𝑏) 0,5

Câu

3

𝑥2 + 𝑦−𝑧+ 1 2 = 0

5𝑦−3𝑧−9 = 0

Do 𝑥2 ≥0; 𝑦−𝑧+ 1 2 ≥0 nên hệ phương trình trở thành

𝑥2 = 0 𝑦−𝑧+ 1 2 = 0

5𝑦−3𝑧−9 = 0

⟺

𝑥= 0 𝑦−𝑧+ 1 = 0 5𝑦−3𝑧−9 = 0

0,5

Xét hệ 𝑦−𝑧+ 1 = 0

5𝑦−3𝑧−9 = 0

⟺ 3𝑦−3𝑧+ 3 = 0

5𝑦−3𝑧−9 = 0

0,25

⟺ 𝑦−𝑧+ 1 = 0

−2𝑦+ 12 = 0

⟺ 6 −𝑧+ 1 = 0

𝑦= 6

⟺ 𝑦= 6

𝑧= 7

0,5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 𝑥= 0; 𝑦= 6; 𝑧= 7 0,25

Câu

4a

Do 𝑎, 𝑐 trái dấu nên cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt với mọi số 𝑚.

0,5

Câu

4b

Giả sử cả hai phương trình có nghiệm chung là 𝑥0 khi đó

2𝑥0

2 + 𝑚−1 𝑥0 −3 = 0 4𝑥0

2 − 𝑚−7 𝑥0 −9 = 0

0,25

⟹6𝑥0

2 + 6𝑥0 −12 = 0 ⟹𝑥0 = 1; 𝑥0 = −2 0,25

𝑥0 = 1 ⟹2 + 𝑚−1 −3 = 0 ⟹𝑚= 2

𝑥0 = −2 ⟹8 −2 𝑚−1 −3 = 0 ⟹𝑚= 7

2

Vậy 𝑚= 2; 𝑚=

7

2 thỏa yêu cầu .

0,5

Câu

5a

Hình vẽ 0,25 𝐵𝐸 là đường cao ⟹𝐵𝐸⊥𝐸𝐶 ⟹𝐵𝐸𝐶 = 900

0,25

𝐶𝐹 là đường cao ⟹𝐵𝐹⊥𝐹𝐶 ⟹𝐵𝐹𝐶 = 900 Vậy 𝐸, 𝐹 cùng nhìn đoạn 𝐵𝐶 dưới một góc vuông hay tứ giác 𝐵𝐶𝐸𝐹 nội tiếp trong đường tròn đường kính 𝐵𝐶.

0,25

⟹𝐵𝐶𝐹 = 𝐵𝐸𝐹 ( góc nội tiếp cùng chắn một cung). 0,25

Câu

5b

Do tam giác 𝐴𝐶𝐹 vuông tại 𝐹 có 𝐴 = 600 ⟹𝐸𝐶𝐹 = 300. 0,25

Theo câu a tứ giác 𝐵𝐶𝐸𝐹 nội tiếp trong đường tròn tâm 𝐼 ⟹𝐸𝐼𝐹 = 2𝐸𝐶𝐹 = 600 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung)

0,25

và 𝐼𝐵= 𝐼𝐹= 𝐼𝐸= 𝐼𝐶 0,25 Vậy tam giác 𝐼𝐸𝐹 đều (tam giác cân có một góc 600) 0,25

Câu

5c

Kẻ tiếp tuyến 𝑥𝐴𝑥′ của đường tròn (𝑂) tại 𝐴. (hình vẽ) ⟹𝑥𝑥′ ⊥𝑂𝐴 (1)

0,25 Mà 𝐵𝐴𝑥 = 𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵 ( tứ giác 𝐵𝐹𝐸𝐶 nội tiếp) ⟹𝐵𝐴𝑥 = 𝐴𝐹𝐸 ⟹𝑥𝑥′ ∥𝐸𝐹 (2). (1) và (2) ⟹𝑂𝐴⊥𝐸𝐹.

0,5

Mặt khác 𝐼𝐾 ⊥𝐸𝐹 (do tam giác 𝐼𝐸𝐹 đều) Vậy 𝑂𝐴 và 𝐼𝐾 song song.

0,25

K

I

F

E

B

O

C

A

x'

x

K

I

F

E

B

O

C

A