Đề thi tuyển sinh THPT chuyên năm học 2017 2018 môn Toán sở GD và ĐT Quãng Ngãi

Bài 1(2 điểm )

1.Giải phương trình 2 ( 1)( 2) 2 1 0 x x x x     

2.Cho x,y là các số thực dương .Chứng minh rằng 2 2 x y x y xy xy x y       

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x,y là các số thực âm .Tại sao ?

Bài 2(2 điểm )

1.Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2 3 n n  là số nguyên tố .Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và 2 7 6 2017 n n   không phải số chính phương

2.Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình 2 2 2 4 4 2 1 2017 x y xy x    

Bài 3(2 điểm )

1.Cho đa thức 3 2 ( ) 6 15 11 P x x x x     và các số thực a,b thỏa mãn P(a)=1 ,P(b)=5.Tính giá trị của biểu thức a+b.

2.Gỉa sử x,y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện

2 ( 1) 2 x xy y   .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4

2 4 4 2 1 ( ) y H y y x x   

Bài 4(3 điểm )

1.Cho hai điểm A,B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy sao cho xOA yOB  .Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox,Oy và P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên các tia Ox,Oy .Gỉa sử M,N,P,Q đôi một phân biệt .Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn

2.Cho tam giác AB không cân ,có ba góc nhọn .Một đường tròn đi qua B,C cắt các cạnh AC,AB lần lượt tại D,E .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BD,CE .

a.Chứng minh rằng các tam giác ABD ,ACE đồng dạng với nhau và MAB NAC 

b.Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB ,K là hình chiếu vuông góc của N lên AC và I là trung điểm của MN .Chứng minh rằng tam giác IHK cân

Bài 5(1 điểm )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

----------- ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC: 2017-2018

Môn thi: Toán Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt ,các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố gồm 2,3,5 .Chứng minh rằng trong 9 số đã cho tồn tại 2 số mà tích của chúng là một số chính phương

Bài làm

Bài 1(2 điểm )

1.Giải phương trình 2 ( 1)( 2) 2 1 0 x x x x     

2.Cho x,y là các số thực dương .Chứng minh rằng 2 2 x y x y xy xy x y       

Đẳng thức trên còn đúng hay không nếu x,y là các số thực âm .Tại sao ?

Bài làm

Bài 1(2 điểm )

1.Phương trình 2 ( 1)( 2) 2 1 x x x x      Đến đây ta có điều kiện: −2 ≤ x ≤1. Bình phương hai vế và thu gọn ta được

2

0

1

1 33 ( 1)( 8) 0

2 1 33 2

x x

x x x x x

x

                  

Giải ra so sánh với điều kiện ta được nghiệm: x = 0 ; x = −1. 2. Ta có

2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y xy xy x y x y                 

(Vì x,y là các số thực dương )

Đặt ; ; ; 0 x a y b a b   .Ta có

2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y a b a b a ab b a ab b xy xy ab ab                  .

Nên ta có

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a ab b a ab b a b a b a b a b               

Hay

2 2 ( ) ( ) 2 2 a b a b a b a b        (do a ,b dương )

Vậy đẳng thức trên còn đúng nếu x,y là các số thực âm.

Bài 2(2 điểm )

1.Giả sử n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện 2 3 n n  là số nguyên tố .Chứng minh rằng n chia 3 dư 1 và 2 7 6 2017 n n   không phải số chính phương

2.Tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa mãn phương trình 2 2 2 4 4 2 1 2017 x y xy x    

Bài làm

1.Vì n là số nguyên dương nên 2 3 n n  >3 mà 2 3 n n   là số nguyên tố nên n không chia hết cho 3. Giả sử n chia hết cho 3=> 2 3 3 n n   (vô lý) => n không chia hết cho 3. +)Với 2 2 2(mod3) 1(mod3) 3 n n n n      suy ra 2 3 3 n n   (vô lý) => n chia 3 dư 1(*) Với n chia 3 dư 1 thì 2 7 6 2017 2(mod3) n n    nên không là số chính phương (**) Từ (*) và (**)=> ĐPCM 2.Ta có 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 1 2017 ( 2 ) ( 1) 2017 9 44 x y xy x x y x           

TH1 : 2 2 8 ( 1) 9 10 x x x

     

Với x=8 thì ta có 2 2 2 2 2 2 18 (8 2 ) (8 1) 2017 9 44 (8 2 ) 44 26 y y y y

             

Với x=-10 thì ta có

2 2 2 2 2 2 27 ( 10 2 ) ( 10 1) 2017 9 44 ( 10 2 ) 44 17 y y y y

              

TH2 : 2 2 43 ( 1) 44 45 x x x

  …