Đề thi tuyển sinh THPT chuyên năm học 2017 2018 môn Toán sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi chuyên Toán, chuyên Tin học Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề —————————

Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình 2 2 2( 1) 2 3 1 0 x m x m m     , trong đó m là tham số, x là ẩn số. a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 2 , x x . Chứng minh rằng 1 2 1 2 9 8 x x x x    .

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình

2

2 2 2 1

4 4

x xy

x xy y m

        , trong đó m là tham số và ,x y là

các ẩn số. a) Giải hệ phương trình với 7 m  . b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Câu 3 (3,0 điểm). Cho hình thang ABCD với , AD BC là hai cạnh đáy, BC AD  , 1 BC BD  ,

AB AC  , 1 CD ,   0 180 BAC BDC   , E là điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC.

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và   2 BEC AEC  . b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm K , đường thẳng BC cắt đường thẳng AE tại điểm F . Chứng minh rằng FA FD  và đường thẳng FD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK . c) Tính độ dài cạnh CD.

Câu 4 (2,0 điểm). Cho phương trình 2 2 2 3 x y z xyz    (1). Mỗi bộ số   , , x y z trong đó , , x y z là

các số nguyên dương thỏa mãn (1) được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1). a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng   , , x y y của phương trình (1).

b) Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương   , , a b c của phương trình (1) và thỏa mãn

điều kiện   min ; ; 2017 a b c  . Trong đó kí hiệu   min ; ; a b c là số nhỏ nhất trong ba số , , . a b c

Câu 5 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên 1 n  và 2 n  số nguyên dương 1 2 2 , ,..., n a a a  thỏa mãn điều

kiện 1 2 2 1 ... 3 n a a a n       . Chứng minh rằng tồn tại hai số , (1 2; , ) i j a a j i n i j     sao

cho 2 i j n a a n    .

---Hết---

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh …………………………………………………….. Số báo danh ………..

SỞ GDĐT VĨNH PHÚC (Đáp án gồm 05 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho chuyên Toán, chuyên Tin học) Câu 1 (2,0 điểm). Cho phương trình 2 2 2( 1) 2 3 1 0 x m x m m     , trong đó m là tham số, x là ẩn số. Nội dung Điểm 1a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. 1,00 PT có nghiệm 2 2 ' ( 1) (2 3 1) 0 m m m       0,25

2 0 ( 1) 0 m m m m       0,25

0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1

m m m m m m m m m

                                  

0,25

0 1 m    0,25 1b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 2 , x x . Chứng minh rằng

1 2 1 2 9 8 x x x x    . 1,00

Theo Viet ta có: 1 2

2 1 2

2( 1)

. 2 3 1

x x m

x x m m

         0,25

2 2 1 2 1 2 1 9 | . | | 2 1| 2 4 16 P x x x x m m m                 0,25

Có

2 1 1 3 1 9 0 1 4 4 4 4 16 m m m               0,25

Suy ra

2 9 1 9 2 16 4 8 P m                   , dấu bằng xảy ra khi 1 4 m  . 0,25

Câu 2 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình

2

2 2 2 1

4 4

x xy

x xy y m

        , trong đó m là tham số và x, y là

các ẩn số. Nội dung Điểm 2a) Giải hệ phương trình với 7 m  . 1,00

Với m=7 ta có:

2 2

2 2 2 2

2 1 2 1

4 4 7 4 4 7

x x xy y x x xy y x xy y

                   

(do 0 x  không thỏa mãn). 0,25

2 2 2 2 2 1 2 1 4 4 7 x x x x x x             0,25