Đề thi tuyển sinh THPT chuyên năm học 2017 2018 môn Toán sở GD và ĐT Bình Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018 Đề chính thức Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán) Ngày thi: 04/ 6/ 2017 Thời gián làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,0 điểm).

Cho biểu thức:

2 x 2 x 2 x 2x 1 A x 1 2 x 2 x 1

                 

a) Tìm điều kiện của x để biếu thức A có nghĩa. Rút gọn A, b) Tìm x để A 0  c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

Bài 2 (2,0 điểm).

1. Giải phương trình sau: 4 3 2 4x 4x 20x 2x 1 0    

2. Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì 2 b 4ac  không là số chính phương.

Bài 3 (1,0 điểm).

Cho đa thức 2 f(x) x 2(m 2)x 6m 1      (m là tham số). Bằng cách đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t và tìm

điều kiện để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.

Bài 4 (4,0 điểm). 1. Cho đường tròn (T) tâm O đường kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy một điểm P khác A, điểm K thuộc đoạn OB (K khác O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) tại C và D (C nằm giữa P và D), H là trung điểm của CD a) Chứng minh tứ giác AOHP nội tiếp được đường tròn.

b) Kẻ DI song song PO, điểm I thuộc AB, chứng minh:   PDI BAH 

c) Chứng minh đẳng thức: 2 PA PC PD   d) BC cắt OP tại J, chứng minh AJ // DB 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm I thuộc miền trong tam giác, kể IMBC, INAC, IK AB.

Tìm vị trí của I sao cho tổng 2 2 2 IM IN IK   nhỏ nhất Bài 5 (1,0 điêm).

Cho các sô thực dương x, y, z thỏ mãn xyz 1. Chứng minh rằng:

3 3 3

3 3 3 x(1 y ) y(1 z ) z(1 x ) 0 y z x      

Lượt giải: Bài 1: (2,0 điểm).

a) A có nghĩa khi và chỉ khi:

 

2

x 0 x 0 x 0 x 1 0 x 1 x 1 x 2 x 1 0 x 1 0

                        

Vậy điều kiện để biểu thức A có nghĩa là: x 0

x 1

   

Khi đó,

   

      

2 2

2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 (x 1) (x 1) A 2 2 x 1 x 1 (x 1) x 1 x 1

                            

         x x 2 x x 2 2 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 2 x 1 2 x 1

                

Vậy A x x  (với x 0, x1)

b) A 0  x x 0   (với x 0, x 1)

    x 1 x 0 x 1 x 0 x 1 0 x 0 x 1 0 x 1              

Vậy A 0  khi 0 x 1   c) Với x 0, x 1, ta có:

 

2 2 1 1 1 1 1 1 A x 2 x x 2 4 4 2 4 4                      , dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 1 1 x x 2 4   

Vậy 1 1 Max(A) khi x 4 4  

Bài 2 (2,0 điểm).

1. Giải phương trình sau: 4 3 2 4x 4x 20x 2x 1 0     (1) Dễ thấy x = 1 không là nghiệm của (1), do đó:

2 2 2 1 (1) 4x 4x 20 0 x x       ( vì 2 x 0  )

2 2 1 1 2x 2 2x 24 0 y 2y 24 0 x x                       (với 1 y 2x 0 x    )

2

2

1 3 7 2x 6 0 x y 6 y 6 0 2x 6x 1 0 x 2 y 4 y 4 0 1 2x 4x 1 0 2 2 2x 4 0 x x 2

                                          

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: 3 7 2 2 S ; 2 2

            Cách 2: (1) 4 3 2 2 2 2 2 2 (4x 4x x ) 21x 2x 1 0 (2x x) 2(2x x) 1 25x 0            

2 2 2 2 2 2

2

3 7 x 2x 6x 1 0 2 (2x x 1) (5x) 0 (2x 6x 1)(2x 4x 1) 0 2x 4x 1 0 2 2 x 2

                            

2. Giả sử 2 b 4ac  là số chính phương n : 2 2 2 2 b 4ac n 4ac b n (b n)(b n)         (*)

(b – n)(b + n) 4 và hai số b – n, b + n cùng tính chẵn lẻ (vì (b – n) + (b + n) = 2b)