Đề thi tuyển sinh THPT chuyên năm học 2017 2018 môn Toán sở GD và ĐT Đồng Nai

Gv: Phạm Doãn Lê Bình - trường THPT chuyên Lương ThếVinh - 01683531100

1.2 Năm học 2017 - 2018

Câu 1. (1,75 điểm) Cho biểu thức P = a + √a a√a + a + √a + 1 + 1 a + 1

: √a −1

a + 1 , với a ≥0 và

a ̸= 1.

(a) Rút gọn biểu thức P.

(b) Tìm các sốtựnhiên a khác 1 sao cho biểu thức P nhận giá trịnguyên.

Câu 2. (2 điểm)

(a) Giải phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

(b) Giải hệphương trình

( x2 −4xy + x + 4y = 2 x2 −y2 = −3.

Câu 3. (1 điểm) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 −x −5 = 0. Lập một phương trình bậc hai nhận 2x1 + x2 và x1 + 2x2 làm nghiệm.

Câu 4. (1,5 điểm)

(a) Tìm các cặp sốnguyên (x, y) thỏa mãn x2 + 2y2 −2xy −4x + 8y + 7 = 0

(b) Cho ba sốthực không âm a, b, c. Chứng minh

ab(b2 + bc + ca) + bc(c2 + ca + ab) + ca(a2 + ab + bc) ≤(ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2).

Câu 5. (0,75 điểm) Trong mặt phẳng tọa độcho ngũ giác lồi ABCDE có các đỉnh A, B, C, D, E đều là điểm nguyên. Chứng minh rằng có ít nhất một điểm nguyên M nằm bên trong hoặc thuộc cạnh của ngũ giác đã cho, với M khác các đỉnh của ngũ giác đã cho. (Một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độvà tung độcủa điểm đó đều là số nguyên).

Câu 6. (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc [ CAB, [ ABC, [ BCA đều là góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại hai điểm M, N với M khác B, N khác C. Hai tia phân giác của hai góc [ CAB, \ OMN cắt nhau tại điểm P.

(a) Chứng minh \ OMN = [ CAB. Chứng minh tứgiác AMPN nội tiếp đường tròn.

(b) Gọi Q là giao điểm của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP và CNP, với Q khác P. Chứng minh ba điểm B, Q, C thẳng hàng.

(c) Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm của ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác AMN, BMP, CNP. Chứng minh bốn điểm O, O1, O2, O3 cùng thuộc một đường tròn.

Đềthi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên tỉnh Đồng Nai Trang 2