Đề thi tuyển sinh năm học 2017 2018 môn Toán trường THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội (Vòng 1)

Bộ giáo dục đào tạo Tr−ờng đại học s− phạm hà nội

cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017 Môn thi: Toán ( Dùng cho mọi thí thi vào trường chuyên) Thời gian : 120 phút Câu 1( 2 điểm)

Cho biểu thức

 

2 3 3 2 2

2 2

2

2 : 1 1

b a a b a a ab a b b a P a b a b b a a b a a

                         

với

, 2 , 0, , a b a b a b a     . 1.Chứng minh rằng . P a b  

2.Tìm a,b biết 3 3 1 & 7 P a b   

Câu 2( 1 điểm) Giả sử x, y là hai số thực phân biệt thỏa mãn 2 2 1 1 2 1 1 1 x y xy     

Tính giá trị biểu thức 2 2 1 1 2 1 1 1 P x y xy      

Câu 3(2 điểm)

Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : 2 4 y ax a   (với a là tham số

1.Tìm tọa độ giao điểm của ( d) và (P) khi 1 2 a 

2. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ

1 2 ; x x thỏa mãn 1 2 3 x x  

Câu 4 (1 điểm)

Anh nam đi xe đạp từ A đến C . Trên quãng đường AB ban đầu ( B nằm giữa A và C).Anh Nam đi với vận tốc không đổi a( km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ. Trên quãng đường BC còn lại anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t ( tính bằng giờ) kể từ B là 8 v t a   ( km/h) .Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là 2 4 S t at   .Tính quãng đường AB biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16km. Câu 5 (3 điểm)

Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B ,C cắt nhau tại điểm P. Gọi D, E tương ứng là chân đường các đường vuông góc kẻ từ P xuống các đường thẳng AB và AC và M là trung điểm cạnh BC. 1. Chứng minh MEP MDP   2. Giả sử B, C cố định và A chạy trên (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. 3. Khi tam giác ABC đều . Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R. Câu 6 (1 điểm) Các số thực không âm 1 2 3 9 , , ,...., x x x x thỏa mãn

1 2 3 9

1 2 3 9

.... 10

2 3 .... 9 18

x x x x

x x x x

            

Chứng minh rằng : 1 2 3 9 1.19 2.18 3.17 .... 9.11 270 x x x x      Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Phần hướng dẫn Vòng 1 Câu 2

          

  

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1 1

1 0 1( ) 2

x y xy x xy y xy

xy y xy x xy y y xy x x x xy y xy

x y xy xy vi x y S

             

              

        

Câu 2

a) Phương trình hoành độ (d) và (P) là 2 2 4 0 x ax a      0 ' 4 0 4

a a a a

       

b) Với 0 4 a a     theo Viét

1 2

1 2

2

4

x x a

x x a

     

    2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 3 9 2 2 9

4 8 8 9

x x x x x x x x x x

Ta co a a a

         

  

Với a<0 2 2 1 4 8 8 9 4 16 9 0 2 a a a a a a          

Với a>4 2 2 3 2 4 8 8 9 4 9 3 2

a dk a a a a a dk

            

Câu 4

Vì xe đến C dừng hẳn nên thời gian xe đi từ B đến C thỏa mãn 8 0 8 a t a t     do đó

quàng đường BC là

2 2 2 2 4 16 4 16 256 16 8 8 1,5. 24( ) AB

a a S t at a a

S a km

                 

Câu 5

I

M

D

E

P

O

B C

A