Đề thi tuyển sinh năm học 2017 2018 môn Toán trường THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội (Vòng 2)

Bộ giáo dục đào tạo Tr−ờng đại học s− phạm hà nội

cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc Đề chính thức

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2017 Môn thi: Toán ( Dùng riêng cho học sinh chuyên Toán và chuyên Tin) Thời gian : 150 phút Câu 1. (1.5 điểm)

Cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng trong 4 số

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ;b ;c ;d a b c c d d a a b         Có ít nhất một số không nhỏ hơn 3.

Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình :

        2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2017 x x x x x x x         

Câu 3. (3.0 điểm)

1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 2 3 3 4 ;c ; 98 a b d a d    

2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số 2 1 1 2; 2 2; ; x x x x x x     có đúng

một số không phải là số nguyên. Câu 4. (3điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R và một điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A, C khác B). Gọi I; K là trung điểm MA, MC .Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. 1. Chứng minh 2 2 2 KO KM R   2.Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp. 3.Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm KE đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng nằm trên một đường tròn. Câu 5. (1.0 điểm) --------------Hết------------- Họ và tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Xét hình bên : Ta viết các số 1, 2,3,4,..9 vào vị trí của 9 điểm trong hình vẽ bên sao cho mỗi số chỉ xuất hiện đúng một lần và tổng ba số trên một cạnh của tam giác bằng 18. Hai cách viết được gọi là như nhau nếu bộ số viết ở các điểm (A;B;C;D;E;F;G;H;K) của mỗi cách là trùng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách viết phân biệt ? Tại sao?

G

K H

C D

E F

B

A

Vòng 2 Câu 1. (1.5 điểm) Giả sử cả bốn số đều nhỏ hơn 3 thì

2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 b c d 3 P a b c c d d a a b             

Mặt khác

   

   

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c d 2

1 1 1 1 4 4 ;

16 16 16 16 3 . . 12 4 4

P a a b c d b c c d d a a b a b c d

Do a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d a b c d P a b c d a b c d a b c d a b c d

                         

              

                       Trái điều giả sử suy ra có ít nhất một số không nhỏ hơn 3. Câu 2. (1.5 điểm)Giải phương trình

        2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 2017 x x x x x x x         

ĐKXĐ x R 

       

   

2 2 2 2 2 2 2

4 3 2 2 2 2 4 3 2

2 2 2 2 2 2

2 4 1 1 2017

2 4 4 8 8 2 1 2 2017

2 2 1 2017 2 2 1 2017 2016

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

        

            

              

Câu 3. (3.0 điểm)

1.Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 2 3 3 4 ;c ; 98 a b d a d    

2.Tìm tất cả các số thực x sao cho trong 4 số 2 1 1 2; 2 2; ; x x x x x x     có đúng

một số không phải là số nguyên. Hướng dẫn 1.Giả sử 3 1 2 1 2 3 . . .... n x x x x n a p p p p  trong đó 1; 2;..., n p p p là các số nguyên tố 1 2 ; ;...; n x x x N 

Tượng tự 3 1 2 1 2 3 .q .q ....q n y y y y n d q  trong đó 1; 2;...,qn q q là các số nguyên tố 1 2 ;y ;...;yn y N  Ta có a,d >1 Vì   3 1 2 2 2 2 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 3 . . .... 2 ,2 ,2 ,...,2 3 , , ,..., 3 , n x x x x n a p p p p b x x x x x x x x a x x Z          

Chứng minh tương tự 3,( ) d y y Z    từ giả thiết   

 

   

3 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

98 98 98 0

2

1 1 1

98 3 3 97 0 1 1 98

a d x y x y x xy y vi a d x y

x y x xy y x xy y x y x xy y

x y x y x y y Z x Z x xy y y y y y y y

             

           

                                  

Hoặc