Chuyên đề quan hệ chia hết trên tập hợp số

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

CHUYÊN ĐỀ

QUAN HỆ CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ

Lời nói đầu 1

Phần 1. Một số kiến thức cần nhớ 3

1. Định nghĩa phép chia hết 3

2. Một số tính chất cần nhớ 3

3. Một số dấu hiệu chia hết 3

Phần 2. Các dạng toán thƣờng gặp 4

Dạng 1. Chứng minh tích các số nguyên liên tiếp chia hết cho một số cho trước 4

Dạng 2. Phân tích thành nhân tử 5

Dạng 3. Sử dụng phương ph{p t{ch tổng 6

Dạng 4. Sử dụng hằng đẳng thức 8

Dạng 5. Sử dụng phương ph{p xét số dư 10

Dạng 6. Sử dụng phuong pháp phản chứng 11

Dạng 7. Sử dụng phương ph{p quy nạp 12

Dạng 8. Sử dụng phương ph{p Dirichlet 13

Dạng 9. Sử dụng đồng dư 14

Dạng 10. Sử dụng tính chất chia hết v| định lý Fermat nhỏ 16

Dạng 11. Các bài toán chia hết với đa thức 16

Dạng 12. Tìm giá trị của biến để chia hết 18

Tổng kết phƣơng pháp giải toán 20

Phần 3. Tuyển chọn các bài toán quan hệ chia hết trong các đề thi toán THCS 21

Phần 4. Hƣớng dẫn các bài toán chia hết trong các đề thi toán THCS 28

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa phép chia.

Cho hai số nguyên a v| b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q v| r

duy nhất sao cho   a bq r , với   0 r b . Trong đó a l| số bị chia, b l| số chia, q l|

thương, r l| số dư.

Khi a chia cho b thì c{c số dư    r 0;1;2;3;...; b

Nếu  r 0 thì  a bq , khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: a b

hay b a .

Vậy a chia hết cho b khi v| chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho  a bq .

Nếu  r 0 , khi đó ta nói a chia b có số dư l| r.

2. Một số tính chất cần nhớ

Tính chất 1. Mọi số nguyên kh{c 0 luôn chia hết cho chính nó.

Tính chất 2. Số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| số nguyên b chia hết cho số

nguyên c thì số nguyên a chia hết cho số nguyên c.

Tính chất 3. Số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| ngược lại thì  a b .

Tính chất 4. Nếu a.b m và   b,m 1 thì a m .

Tính chất 5. Nếu hai số nguyên a v| b cùng chia hết cho m thì    a b m .

Tính chất 6. Nếu a chia hết cho m v| n, trong đó   m,n 1 thì a mn .

Tính chất 7. Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| số nguyên c chia hết cho

số nguyên d thì tích ac chia hết cho tích bd.

Tính chất 8. Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho n.

Tính chất 9. Nếu   a b 0 với a, b l| c{c số tự nhiên thì     n n a b n N chia hết cho

 a b.

Tính chất 10. Nếu   a b 0 với a, b l| c{c số tự nhiên v| n l| số tự nhiên lẻ thì

 n n a b chia hết cho  a b.

3. Một số dấu hiệu chia hết

Đặt   n n 1 2 1 0 A a a ...a a a , với  n n 1 2 1 0 a ;a ;...;a ;a ;a l| c{c chữ số. Khi đó ta có c{c dấu

hiệu chia hết như sau.

Dấu hiệu chia hết cho 2: Số tự nhiên A chia hết cho 2 khi v| chỉ khi

   0 a 0;2;4;6;8

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

Dấu hiệu chia hết cho 5: Số tự nhiên A chia hết cho 5 khi v| chỉ khi    0 a 0;5

Từ đó suy ra A chia hết cho 10 khi v| chỉ khi  0 a 0 .

Dấu hiệu chia hết cho 4 v| 25: Số tự nhiên A chia hết cho 4(hoặc 25) khi v| chỉ khi

1 0 a a chia hết cho 4 (hoặc 25).

Dấu hiệu chia hết cho 8 v| 125: Số tự nhiên A chia hết cho 8(hoặc 125) khi v| chỉ

khi 2 1 0 a a a chia hết cho 8 (hoặc 125).

Dấu hiệu chia hết cho 3 v| 9: Số tự nhiên A chia hết cho 3(hoặc 9) khi v| chỉ khi

tổng c{c chữ số của số A chia hết cho 3(hoặc 9).

Dấu hiệu chia hết cho 11: Số tự nhiên A chia hết cho 11 khi v| chỉ khi hiệu giữa

tổng c{c chữ số ở h|ng lẻ v| tổng c{c chữ số ở h|ng chẵn l| một số chia hết cho 11.

II. CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP

 Dạng 1: Chứng minh tích các số nguyên liên tiếp chia hết cho một số cho

trƣớc

Cơ sở phƣơng pháp: Đ}y l| dạng to{n cơ bản thường gặp khi chúng ta mới bắt

đầu học chứng minh các bài toán chia hết. Sử dụng các tính chất cơ bản như: tích

hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

Chúng ta vận dụng linh hoạt các tích chất cơ bản n|y để giải các bài toán chứng

minh chia hết về tích các số nguyên liên tiếp.

Thí dụ 1. Chứng minh …