Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi tuyển sinh chuyên Toán

Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN

Tuyển tập một sốbài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên toán 2020

Nguyễn Nhất Huy, Chuyên Phan Bội Châu - NghệAn

Ngày 15 tháng 10 năm 2020

Tóm tắt nội dung

Vậy là một mùa tuyển sinh vào 10 nữa lại đi qua với sựxuất hiện của nhiều bài toán hay và khó được các sởđưa ra. Và cũng như mọi năm, bất đẳng thức là chủđềtuy đã quá quen thuộc với chúng ta nhưng nó vẫn là vấn đềtương đối khó và cần các bạn học sinh có kỹnăng phân tích và biến đổi tốt đểgiải quyết chúng. Với danh nghĩa là một học sinh đã trải qua mùa thi vừa rồi và cũng đã đỗđược 2 ngôi trường chuyên nổi tiếng là Chuyên KHTN Hà Nội và Chuyên Phan Bội Châu, tôi xin mạnh dạn viết lên chuyên đề"Tuyển tập một sốbài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên toán 2020" với mục đích nhìn lại các bài toán đã qua và giúp các em khóa sau có một tài liệu đểôn tập đạt kết quảcao. Trong tài liệu này tôi có trình bày những kiến thức cơ bản và lời giải các bài toán đã thi trong mùa thi vừa rồi, tiếp đó là những chuyên đềgiúp các bạn nhập môn với những kỹthuật khó hơn. Đểhoàn thành chuyên đềnày, tôi xin cảm ơn tới anh Nguyễn Minh Tuấn đã chỉdạy tôi kĩ năng sửdụng LATEX và thiết kếlên tài liệu mà các bạn đang đọc, bên cạnh đó anh cũng là người tư vấn giúp tôi những vấn đềthiếu sót vềmặt kiến thức. Vì còn chưa có kinh nghiệm nhiều vềtuổi đời cũng như kiến thức nên chắc chắn trong quá trình biên soạn sẽkhông thểtránh khỏi những thiếu sót, rất mong bạn đọc và các thầy cô góp ý và bỏqua. Cuối cùng xin cảm ơn mọi người đã ủng hộvà dõi theo tôi.

Mục lục

1 Các kiến thức cơ bản vềbất đẳng thức. 2

1.1 Một sốkí hiệu sửdụng trong tài liệu. 2

1.2 Bất đẳng thức AM – GM. 2

1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. 2

1.4 Điều kiện có nghiệm của phương trình. 2

2 Các bài toán trong các kì thi chuyên toán. 3

3 Giới thiệu một sốphương pháp chứng minh bất đẳng thức khác. 38

3.1 Tam thức bậc 2 và phương pháp miền giá trị. 38

3.2 Phương pháp đổi biến PQR và bất đẳng thức Schur 45

3.3 Phân tích tổng bình phương SOS và phân tích Schus - SOS. 51

4 Các bài toán luyện tập. 59

1

LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC

Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán

1 Các kiến thức cơ bản vềbất đẳng thức.

1.1 Một sốkí hiệu sửdụng trong tài liệu. X

cyc

1 ab2 = 1 ab2 + 1

bc2 + 1

ca2

X

sym

1 ab2 = 1 ab2 + 1

ba2 + 1

ca2 + 1

ac2 + 1

bc2 + 1

cb2

Ởđây cyc là viết tắt của cyclic và đôi khi cũng có thểsửdụng X đểthay thế X

cyc , sym là viết tắt của

symetric.

1.2 Bất đẳng thức AM – GM.

Tổng quát với các sốthực dương x1, x2, ..., xn thì ta có

n X

i=1 xi ⩾n n

Ã

n Y

i=1 xi.

Dấu "=" khi và chỉkhi x1 = x2 = ... = xn. Với n = 2 và n = 3 thì ta được 2 hệquảquen thuộc

a + b ⩾2 √

ab

a + b + c ⩾3 3√

abc

Ngoài ra bất đẳng thức AM −GM cũng có thểphát biểu ởdạng mẫu số

n X

i=1

1 xi ⩾ n2

n X

i=1 xi

.

1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

Cho 2 bộsố(x1, x2, ..., xn) và (y1, y2, ..., yn) khi đó ta có

n X

i=1 xi2 ! n X

i=1 yi2 !

⩾

n X

i=1 xiyi

!2

Dấu "=" khi và chỉkhi các sốlập thành các bộsốtỉlệ. Dạng cộng mẫu Engel tổng quát n X

i=1

ai2

bi ⩾

n X

i=1 ai

!2 n X

i=1 bi

!−1

Trong đó dạng x2

a + y2

b ⩾(x + y)2

a + b là dạng ta hay gặp nhất.

1.4 Điều kiện có nghiệm của phương trình.

Trong một sốbài toán đánh giá min - max ta sẽsửdụng tới điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ̸= 0). Khi đó nếu

1 ∆= 0 thì phương trình có nghiệm , đồng nghĩa vếtrái luôn không âm hoặc không dương.

2 ∆> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ứng dụng của kiến thức này sẽáp dụng cho những bài tìm điều kiện có nghiệm đểsuy ra min, max.

® Email. nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 2 h Tạp chí và tư liệu toán học