Các bài toán về phần nguyên trong số học

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |

CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Định nghĩa

Ta biết rằng, mọi số thực x đều có thể biểu diễn được dưới dạng: x n t = + với n Z ∈ và

0 1. t ≤ < Ví dụ: 6,7 6 0,7 ; 6,7 7 0,3 = + − = −+

Sự biểu diễn trên là duy nhất. Ta gọi số nguyên n là phần nguyên của x ; còn t được gọi

là phần lẻ của x. Từ đây ta đi đến định nghĩa.

Phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá ,x kí hiệu là [ ]. x Ta

có [ ] [ ] 1. x x x ≤ < +

Thí dụ: [ ] 1 3 2 2; 0; 7,2 8; 2 1;..... 2 5      = = − = − =        

Phần lẻ của số thực x là hiệu của x với phần nguyên của nó, kí hiệu là { }. x

Ta có { } [ ] { } ,0 1. a a a a = − ≤ ≤

Thí dụ { } { } 1 1 2,1 0,1; ; 7,2 0,8;.... 2 2  = = − =  

2. Tính chất

1) [ ] a a a ∈ ⇔ =  hoặc { } 0. a =

2) n∈ và [ ] 1 . n a n a n ≤ < + ∈ ⇔ = 

3) { } [ ] { } 0. a a = =     4) Nếu n∈ thì [ ] [ ] { } { } ; . n a n a n a a + = + + =

5) Nếu [ ] n a n + = thì n∈ và 0 1. a ≤ ≤

6) [ ] [ ]. a b a b ≥ ⇒ ≥

7) [ ] [ ] [ ]. a b a b + ≤ +

Tổng quát [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 ... ... , n n a a a a a a + + + ≤ + + +

8) [ ] [ ] [ ]. a b a b − ≥ −

9) { } { } { } { } { } { } ; . a b a b a b a b + ≥ + − ≤ −

10) Nếu [ ] [ ] a b = thì 1. a b − <

11) [ ] [ ] 1 2 . 2 a a a   + + =    

CHỦ ĐỀ

7

PHẦN NGUYÊN

TRONG SỐ HỌC

.179 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

| CHỦ ĐỀ 7: PHẦN NGUYÊN TRONG SỐ HỌC

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI

12) Nếu * n∈ thì [ ] [ ] [ ] ; . a a na n a n n

   ≥ =      

13) Nếu a là số nguyên thì [ ] [ ]; a a − = −

Nếu a không là số nguyên thì [ ] [ ] 1; a a − = − −

Chứng minh các tính chất: Các tính chất 1) đến 5) có thể chứng minh dễ dàng trên dựa vào định nghĩa phần

nguyên.

6) Vì a b ≥ nên tồn tại số 0 c ≥ sao cho . a b c = + Do đó. [ ] { } , a b b c = + + suy ra

[ ] [ ] { } . a b b c = + +     Mà { } 0 b c + ≥     nên [ ] [ ]. a b ≥

7) Viết [ ] { } [ ] { } , . a a a b b b = + = + Khi đó

[ ] { } [ ] { } [ ] [ ] { } { } [ ] . a b a a b b a b a b   + = + + + = + + +      

Mà { } { } 0 a b + ≥     nên

[ ] [ ] [ ]. a b a b + ≥ +

8) Áp dụng tính chất 7 ta có

[ ] [ ] [ ] [ ] a b b a b b a − + ≤ − + = nên [ ] [ ] [ ]. a b a b − ≥ − { } { } [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] { } { } { } { } 9) . a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b + = − + − = + − + ≥ + − + = + ⇒ + ≥ +

Vậy { } { } { }. a b a b + ≥ +

{ } { } [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] { } { } { } { } . a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b − = − + − = − − − ≤ − − − = − ⇒ − ≤ −

Vậy { } { } { }. a b a b − ≤ −

[ ] [ ] 10) a b = suy ra { } { }. a a b b − = − Không giảm tính tổng quát, giả sử a b ≥

Nếu a b = thì 0; a b − =

Nếu a b > thì từ { } { } { } a b a b a b − = − ≤ −

Suy ra { } 1 a b a b a b − = − ≤ − <

Vậy 1. a b − <

11) Đặt { } a d = thì 0 1. d ≤ ≤

• Nếu 1 0 2 d ≤ < thì [ ] [ ] [ ] 1 1 1 ; 2 2 2 a a d a d a       + = + + = + + =             [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 . a a d a d a   = + = + =   Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

• Nếu 1 1 2 d ≤ < thì [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1; 2 2 2 a a d a d a       + = + + = + + = +             [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 2 1. a a d a d a   = + = + = +   Suy ra điều phải chứng minh.

12) Ta có [ ] [ ] { } ( ) [ ] { } , na n a a n a n a   = + = +       mà { } 0 n a ≥     nên [ ] [ ]. na n a ≥

1 1 a a a a a n a n n n n n n       ≤ < + ⇒ ≤ < +            

TỦ SÁCH CẤP 2| 180