Các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |

CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Nguyên lý cực hạn.

Nguyên lí cực hạn được phát biểu đơn giản như sau:

Nguyên lí 1: Trong một tập hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thể chọn được

số bé nhất và số lớn nhất.

Nguyên lí 2: Trong một tập khác rỗng các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé

nhất.

Nhờ nguyên lý này ta có thể xét các phần tử mà một đại lượng nào đó có giá trị lớn nhất

hoặc nhỏ nhất, chẳng hạn :

- Xét đoạn thẳng lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn đoạn thẳng

- Xét góc lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn góc.

- Xét đa giác có diện tích hoặc chu vi nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất) trong một số hữu hạn đa giác

- Xét khoảng cách lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn khoảng cách giữa hai

điểm hoặc khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Xét các điểm là đầu mút của một đoạn thẳng, xét các điểm ở phía trái nhất hoặc phải

nhất của một đoạn thẳng( giả thiết là đoạn thẳng nằm ngang).

Nguyên lí cực hạn thường được sử dụng kết hợp với các phương pháp khác, đặc biệt là

phương pháp phản chứng, được vận dụng trong trong trường hợp tập các giá trị cần khảo

sát chỉ tập hợp hữu hạn( nguyên lí 1) hoặc có thể có vô hạn nhưng tồn tại một phần tử lớn

nhất hoặc nhỏ nhất (nguyên lí 2).

2. Các bước áp dụng nguyên lý cực hạn khi giải toán

Khi vận dụng nguyên lí này, ta phải tiến hành các bước sau:

• Bước 1. Chứng minh rằng trong tất cả các giá trị cần khảo sát luôn tồn tại giá trị lớn nhất

hoặc giá trị nhỏ nhất.

• Bước 2. Xét bài toán trong trường hợp riêng khi nó nhận giá trị này (nhỏ nhất hoặc lớn

nhất)

• Bước 3. Chỉ ra một mâu thuẫn, chỉ ra một giá trị còn nhỏ hơn (hay lớn hơn) giá trị ta đang

khảo sát .

Theo nguyên lí của phương pháp phản chứng, ta sẽ suy ra điều phải chứng minh.

CHỦ ĐỀ

9

CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG

NGUYÊN LÝ CỰC HẠN

.217 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

| CHỦ ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN

CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài toán 1. Tồn tại hay không tồn tại 100 điểm sao cho với bất kì hai điểm A; B nào

trong 100 điểm đó cũng tồn tại một điểm C trong các điểm còn lại mà góc

 0 ACB 60 <

Hướng dẫn giải

A B

C Giả sử tồn tại 100 điểm có tính chất như

đề bài. Gọi A; B là hai điểm có khoảng

cách lớn nhất trong 100 điểm này và tồn

tại điểm C mà góc  0 ACB 60 <

Điểm C không thể thuộc đường thẳng

AB

Xét tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất

nên góc C là lớn nhất, mà góc

 0 ACB 60 < nên góc A và B cũng < 600

Do đó   0 180 A B C + + < vô lý nên không tồn tại 100 điểm trên

Bài toán 2. Cho 10 đường thẳng trong đó không có hai đường nào song song. Biết

qua giao điểm của 2 đường thẳng bất kì trong 10 đường thẳng đó có ít nhất một

đường thẳng trong các đường thẳng còn lại đi qua. Chứng minh 10 đường thẳng

đó đồng qui.

Hướng dẫn giải

d

E

B D

A

C

Giả sử 10 đường này không đồng qui.

Xét đường thẳng d, có 1 hoặc nhiều giao

điểm của 2 đường thẳng đã cho nằm

ngoài d, ta gọi A là điểm nằm gần d nhất

Theo giả thiết có ít nhất 3 đường thẳng

qua A.

TỦ SÁCH CẤP 2| 218