Một số bài toán về đường cố định và điểm cố định

655

MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Bài toán về đường cố định và điểm cố định là một bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải

có kĩ năng phân tích bài toán và suy nghĩ, tìm tòi một cách sâu sắc để tìm ra được lời giải.

Một vấn đề quan trọng khi giải bài toán về đường cố định và điểm cố định dự đoán được

yếu tố cố định. Thông thường ta dự đoán các yếu tố cố định bằng các phương pháp sau:

• Giải bài toán trong trường hợp đặc biệt để thấy được yếu tố cố định cần tìm. Từ đó ta

suy ra trường hợp tổng quát.

• Xét các đường đặc biệt để của một họ đường để thấy được yếu tố cố định cần tìm.

• Dựa vào tính đối xứng, tính độc lập, bình đẳng của các đối tượng để hạn chế phạm vi

của hình tứ đó có thể tìm được yếu tố cố định.

Khi giải bài toán về đường cố định và điểm cố định ta thường thực hiện các bước

như sau:

a) Tìm hiểu bài toán: Khi tìm hiểu bài toán ta xác định được

+ Yếu tố cố định(điểm, đường, … )

+ Yếu tố chuyển động(điểm, đường, … )

+ Yếu tố không đổi(độ dài đoạn, độ lớn góc, … )

+ Quan hệ không đổi(Song song, vuông góc, thẳng hàng, … )

b) Dự đoán điểm cố định: Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự

đoán yếu tố cố định. Thông thường ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các

đặc điểm bất biến khác như tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng … để dự đoán

điểm cố định

c) Tìm tòi hướng giải: Từ việc dự đoán yếu tố cố định tìm mối quan hệ giữa yếu tố đó với

các yếu tố chuyển động, yếu tố cố định và yếu tố không đổi.

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

656

II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự đó. Vẽ tia Cx vuông góc với AB. Trên

tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho = = CE CA 3 CB CD . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt

đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C. Chứng minh rằng đường thẳng HC

luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng AB.

Phân tích tìm lời giải

Tìm hiểu đề bài:

+ Yếu tố cố định: đoạn thẳng AB

+ Yếu tố không đổi:   = = 0 0 BEC 30 , ADB 60

Do đó số đo cung BC và cung CA không đổi.

Ba điểm B, D, H thẳng hàng và E, H, A thẳng hàng

Dự đoán điểm cố định: Khi C trùng B thì (d) tạo

với BA một góc 0 60 , suy ra điểm cố định thuộc tia

By tạo với tia BA một góc 0 60 . Khi C trùng A thì

(d) tạo với AB một góc 0 30 , suy ra điểm cố định

thuộc tia Az tạo với tia AB một góc 0 30

Khi By và Az cắt nhau tại M thì M là điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định

dưới 0 90 nên M thuộc đường tròn đường kính AB.

Tìm hướng chứng minh: M thuộc đường tròn đường kính AB cố định do đó cần chứng

minh số đo cung AM không đổi. Thật vậy     = = = = 0 sdAM 2MCA 2CHA 2CDA 120

Lời giải

Ta có  = = ⇒ = 0 CA tan D 3 D 60 CD . Ta lại có   = = 0 CHA CDA 60

Gọi giao điểm của đường tròn đường kính AB với CH là M. Ta có = 0 MHA 60 .

E

H

M

D

C B A

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

657

Ta có     = = = = 0 sdAM 2MCA 2CHA 2CDA 120 . Do đó số đo cung MA không đổi. Lại có

đường tròn đường kính AB cố định nên M cố định do đó CH luôn qua M cố định.

Ví dụ 2. Cho đường tròn ( ) O;R và dây cung = AB R 3 . Lấy điểm P khác A và B trên dây

AB. Gọi ( ) 1 C;R là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn ( ) O;R tại A. Gọi ( ) 2 D;R

là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn ( ) O;R tại B. Các đường tròn ( ) 1 C;R và

( ) 2 D;R cắt nhau tại M khác P. Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đường thẳng

PM luôn đi qua một điểm cố định.

Phân tích tìm lời giải

Tìm hiểu đề bài:

+ Yếu tố cố định: Đường tròn ( ) O;R và dây AB

+ Yếu tố không đổi: DPCO là hình bình hành. Số đo

cung BP của đường tròn ( ) 2 D;R và số đo cung AP của

đường tròn ( ) 1 C;R , số đo góc  BMA không đổi

Dự đoán điểm cố định: Khi P trùng với A thì PM là tiếp

tuyến của ( ) O;R nên điểm cố định nằm trên tiếp tuyến

của ( ) O;R tại A. Khi P trùng với B thì PM là tiếp tuyến

của ( ) O;R nên điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của

( ) O;R tại B.

Do tính chất đối xứng của hình nên điểm cố định …